Question

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение 
$$a\left(x+\frac{4}{x}\right)^{2}+2\left(x+\frac{4}{x}\right)-49a+14=0$$
имеет ровно два различных корня.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: введём замену $t = x + \frac{4}{x}$, проанализируем, при каких значениях $t$ исходное уравнение имеет ровно два корня по $x$, а затем найдём параметры $a$, обеспечивающие нужное количество решений. Обозначим $t = x + \frac{4}{x}$. Тогда исходное уравнение принимает вид: $$at^{2}+2t-49a+14=0$$ Для каждого значения $t$ найдём количество решений уравнения $x + \frac{4}{x} = t$, или эквивалентно: $$x^{2}-tx+4=0$$ Дискриминант этого уравнения: $D = t^{2}-16$. Уравнение имеет два различных решения при $t^{2}-16 > 0$, то есть при $t < -4$ или $t > 4$; одно решение при $t = \pm 4$; и не имеет решений при $-4 < t < 4$. **Случай 1: $a = 0$** Уравнение становится $2t + 14 = 0$, откуда $t = -7$. Так как $-7 < -4$, это значение $t$ даёт два различных корня по $x$. Следовательно, при $a = 0$ исходное уравнение имеет ровно два решения. **Случай 2: $a eq 0$** Найдём дискриминант квадратного уравнения относительно $t$: $$D_{t} = 4 - 4a(-49a+14) = 4 + 196a^{2} - 56a = 196a^{2} - 56a + 4 = (14a-2)^{2}$$ Корни уравнения: $$t_{1,2} = \frac{-2 \pm (14a-2)}{2a}$$ $$t_{1} = \frac{-2 + 14a - 2}{2a} = \frac{14a-4}{2a} = 7 - \frac{2}{a}$$ $$t_{2} = \frac{-2 - 14a + 2}{2a} = \frac{-14a}{2a} = -7$$ Значение $t_{2} = -7$ всегда удовлетворяет условию $t < -4$, поэтому всегда даёт два различных корня по $x$. Для получения ровно двух корней исходного уравнения необходимо, чтобы $t_{1}$ либо не давал решений (то есть $-4 < t_{1} < 4$), либо совпадал с $t_{2}$ (то есть $t_{1} = -7$). **Подслучай 2а: $t_{1} = -7$** $$7 - \frac{2}{a} = -7 \implies \frac{2}{a} = 14 \implies a = \frac{1}{7}$$ **Подслучай 2б: $-4 < t_{1} < 4$** $$-4 < 7 - \frac{2}{a} < 4$$ Левое неравенство: $-4 < 7 - \frac{2}{a} \implies \frac{2}{a} < 11 \implies \frac{2-11a}{a} < 0$. Это выполнено при $0 < a < \frac{2}{11}$ или $a < 0$. Правое неравенство: $7 - \frac{2}{a} < 4 \implies 3 < \frac{2}{a} \implies \frac{2-3a}{a} > 0$. Это выполнено при $0 < a < \frac{2}{3}$ или $a < 0$. Пересечение условий: $0 < a < \frac{2}{11}$ или $a < 0$. Однако при $a < 0$ оба корня $t_{1}$ и $t_{2}$ могут оказаться вне диапазона $(-4, 4)$. Проверим: при $a < 0$ имеем $t_{1} = 7 - \frac{2}{a} > 7 > 4$ и $t_{2} = -7 < -4$, поэтому оба дают решения — это даёт четыре корня, что не подходит. Таким образом, из подслучая 2б получаем $0 < a < \frac{2}{11}$. Объединяя оба подслучая: $a \in \left(0, \frac{2}{11} ight) \cup \left\{\frac{1}{7} ight\}$. Вместе с $a = 0$ окончательный ответ: $$a \in \left[0, \frac{2}{11} ight) \cup \left\{\frac{1}{7} ight\}$$

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике