Question

Решите неравенство:

$$11^{x}-6-\frac{24\cdot 11^{x}-244}{121^{x}-16\cdot 11^{x}+60}\leq\frac{1}{11^{x}-10}$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: заменить $11^x$ на переменную $t$, привести к общему знаменателю, разложить числитель на множители и применить метод интервалов. Переписываем знаменатель слева, заметив, что $121^x = (11^x)^2$: $$11^{x}-6-\frac{24\cdot 11^{x}-244}{(11^{x})^{2}-16\cdot 11^{x}+60}\leq\frac{1}{11^{x}-10}$$ Обозначим $11^x = t$, где $t > 0$: $$t-6-\frac{24t-244}{t^{2}-16t+60}\leq\frac{1}{t-10}$$ Разложим квадратный трёхчлен в знаменателе: $$t^{2}-16t+60 = (t-10)(t-6)$$ Подставляем: $$t-6-\frac{24t-244}{(t-10)(t-6)}\leq\frac{1}{t-10}$$ Приводим к общему знаменателю $(t-6)(t-10)$: $$\frac{(t-6)(t-10)(t-6) - (24t-244) - (t-6)}{(t-6)(t-10)}\leq 0$$ Упрощаем числитель: $$(t-6)^2(t-10) - (24t-244) - (t-6) = (t^2-12t+36)(t-10) - 24t + 244 - t + 6$$ $$= t^3 - 10t^2 - 12t^2 + 120t + 36t - 360 - 25t + 250$$ $$= t^3 - 22t^2 + 131t - 110$$ Разложим кубический многочлен на множители. Проверяя делители свободного члена, находим, что $t = 10$ — корень: $$10^3 - 22 \cdot 10^2 + 131 \cdot 10 - 110 = 1000 - 2200 + 1310 - 110 = 0$$ Делим на $(t-10)$: $$t^3 - 22t^2 + 131t - 110 = (t-10)(t^2 - 12t + 11)$$ Разложим квадратный трёхчлен: $$t^2 - 12t + 11 = (t-1)(t-11)$$ Следовательно: $$t^3 - 22t^2 + 131t - 110 = (t-1)(t-10)(t-11)$$ Неравенство принимает вид: $$\frac{(t-1)(t-10)(t-11)}{(t-6)(t-10)}\leq 0$$ Сокращаем на $(t-10)$ (учитывая, что $t eq 10$): $$\frac{(t-1)(t-11)}{(t-6)}\leq 0$$ Применяем метод интервалов на числовой оси с критическими точками $t = 1, 6, 11$: - При $t < 1$: $\frac{(-)(-)} {(-)} = \frac{(+)}{(-)} < 0$ ✓ - При $1 < t < 6$: $\frac{(+)(-)} {(-)} = \frac{(-)}{(-)} > 0$ ✗ - При $6 < t < 11$: $\frac{(+)(-)} {(+)} = \frac{(-)}{(+)} < 0$ ✓ - При $t > 11$: $\frac{(+)(+)} {(+)} = \frac{(+)}{(+)} > 0$ ✗ Решение в переменной $t$: $t \leq 1$ или $6 < t \leq 11$. Возвращаемся к переменной $x$: $$11^x \leq 1 \quad ext{или} \quad 6 < 11^x \leq 11$$ $$x \leq 0 \quad ext{или} \quad \log_{11} 6 < x \leq 1$$ ![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/6U3m8hD669yVPSy6tsfJEcJwXzcpumHubtbQSKlI.jpg) ![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/wRaxmwRw2Xa3uyKzSisdTppSAM7q8hXkdJRvkDDX.jpg)

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике