Question

Найдите точку минимума функции $y = (2x^2 - 38x + 38)e^{x-25}$.

Accepted Answer

17

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, применив правило произведения и анализ знака производной. Вычислим производную по правилу произведения: $$y' = (4x - 38)e^{x-25} + (2x^2 - 38x + 38)e^{x-25}$$ Вынесем общий множитель: $$y' = e^{x-25}(4x - 38 + 2x^2 - 38x + 38)$$ $$y' = e^{x-25}(2x^2 - 34x)$$ Приравняем производную к нулю: $$e^{x-25}(2x^2 - 34x) = 0$$ Поскольку $e^{x-25} > 0$ для всех $x$, получаем: $$2x^2 - 34x = 0$$ $$x^2 - 17x = 0$$ $$x(x - 17) = 0$$ Критические точки: $x = 0$ и $x = 17$. Проанализируем знак производной. Разложим: $y' = 2e^{x-25} \cdot x(x - 17)$. - При $x < 0$: оба множителя $x$ и $(x - 17)$ отрицательны, произведение положительно, $y' > 0$. - При $0 < x < 17$: $x > 0$, $(x - 17) < 0$, произведение отрицательно, $y' < 0$. - При $x > 17$: оба множителя положительны, произведение положительно, $y' > 0$. Производная меняет знак с минуса на плюс в точке $x = 17$, что указывает на локальный минимум.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике