Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} \frac{\left( y^{2}-xy+3x-y-6 ight)\sqrt{x+2}}{\sqrt{6-x}}=0, \ x+y-a=0 \end{array} ight.$$

имеет ровно два различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить числитель первого уравнения на множители, найти допустимую область и кривые, затем определить значения параметра, при которых прямая $y = a - x$ пересекает эту область ровно в двух точках. Рассмотрим первое уравнение. Числитель равен нулю, когда $y^2 - xy + 3x - y - 6 = 0$ (при условии $x + 2 \geq 0$ и $6 - x > 0$). Решим квадратное уравнение относительно $y$: $$y^2 - y(x+1) + 3x - 6 = 0$$ Вычислим дискриминант: $$D = (x+1)^2 - 4(3x-6) = x^2 + 2x + 1 - 12x + 24 = x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$$ Корни: $$y = \frac{(x+1) \pm |x-5|}{2}$$ При $x \leq 5$: $y_1 = \frac{(x+1) - (x-5)}{2} = 3$, $y_2 = \frac{(x+1) + (x-5)}{2} = x - 2$. При $x > 5$: оба выражения дают те же значения $y = 3$ и $y = x - 2$. Область допустимости: $-2 \leq x < 6$. Таким образом, первое уравнение задаёт объединение: - горизонтального отрезка $y = 3$ при $-2 \leq x < 6$; - наклонного отрезка $y = x - 2$ при $-2 \leq x < 6$. Второе уравнение $x + y = a$ — это прямая $y = a - x$ с угловым коэффициентом $-1$. Найдём ключевые точки пересечения: **Точка пересечения $y = 3$ и $y = x - 2$:** $$3 = x - 2 \Rightarrow x = 5, \quad (5; 3)$$ **Граничные точки:** - При $x = -2$: на $y = 3$ получаем $(-2; 3)$, на $y = x - 2$ получаем $(-2; -4)$. - При $x = 6$: на $y = 3$ получаем $(6; 3)$, на $y = x - 2$ получаем $(6; 4)$. Прямая $y = a - x$ имеет ровно два решения с допустимой областью в следующих случаях: 1. Проходит через $(-2; -4)$: $a = -2 + (-4) = -6$. 2. Проходит через $(-2; 3)$: $a = -2 + 3 = 1$. 3. Проходит через $(5; 3)$: $a = 5 + 3 = 8$. 4. Проходит через $(6; 3)$: $a = 6 + 3 = 9$. 5. Проходит через $(6; 4)$: $a = 6 + 4 = 10$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике