Question

Найдите точку минимума функции $y = -\frac{x^2 + 196}{x}$.

Accepted Answer

-14

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, затем определить характер экстремума методом интервалов. Вычислим производную: $$y' = \frac{-2x \cdot x - (-x^2 - 196) \cdot 1}{x^2} = \frac{-2x^2 + x^2 + 196}{x^2} = \frac{196 - x^2}{x^2}$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{196 - x^2}{x^2} = 0$$ Числитель обращается в нуль при $196 - x^2 = 0$, откуда $x = \pm 14$. Исследуем знак производной на интервалах: - При $x < -14$: $196 - x^2 < 0$, поэтому $y' < 0$ (функция убывает). - При $-14 < x < 0$: $196 - x^2 > 0$, поэтому $y' > 0$ (функция возрастает). - При $0 < x < 14$: $196 - x^2 > 0$, поэтому $y' > 0$ (функция возрастает). - При $x > 14$: $196 - x^2 < 0$, поэтому $y' < 0$ (функция убывает). В точке $x = -14$ производная меняет знак с отрицательного на положительный, что указывает на локальный минимум.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике