Question

а) Решите уравнение $\sin 2x - \sin(-x) + 2\cos(-x) + 1 = 0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить свойства чётности синуса и косинуса, затем разложить полученное выражение на множители. **а) Решение уравнения** Используя свойства $\sin(-x) = -\sin x$ и $\cos(-x) = \cos x$, преобразуем исходное уравнение: $$2\sin x \cos x + \sin x + 2\cos x + 1 = 0$$ Сгруппируем слагаемые: $$\sin x(2\cos x + 1) + 1(2\cos x + 1) = 0$$ Вынесем общий множитель: $$(\sin x + 1)(2\cos x + 1) = 0$$ Отсюда получаем два случая. **Случай 1:** $\sin x + 1 = 0$ $$\sin x = -1$$ $$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ **Случай 2:** $2\cos x + 1 = 0$ $$\cos x = -\frac{1}{2}$$ $$x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ **б) Отбор корней на отрезке $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$** Для первого семейства $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$: При $n = 0$: $x = \frac{3\pi}{2}$ — принадлежит отрезку. При $n = 1$: $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{7\pi}{2} > 3\pi$ — не принадлежит. Для второго семейства $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$: При $n = 0$: $x = \frac{2\pi}{3} < \frac{3\pi}{2}$ — не принадлежит. При $n = 1$: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$ — проверим: $\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$, $\frac{8\pi}{3} = \frac{16\pi}{6}$, $3\pi = \frac{18\pi}{6}$. Имеем $\frac{9\pi}{6} < \frac{16\pi}{6} < \frac{18\pi}{6}$, поэтому $\frac{8\pi}{3}$ принадлежит отрезку. Для третьего семейства $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$: При $n = 1$: $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} < \frac{3\pi}{2}$ — не принадлежит. При $n = 2$: $x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3} > 3\pi$ — не принадлежит. ![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/kKShmEGUFsq23jnvDmc4AQi8m8ToRDHN0AYhhQk3.jpg)

Задание №13УравненияЕГЭ по математике