Question

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере $S$ млн рублей, где $S$ — целое число. Условия возврата:

- каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- в июле каждого года долг должен составлять часть кредита согласно таблице:

| Месяц и год | Июль 2016 | Июль 2017 | Июль 2018 | Июль 2019 |
|---|---|---|---|---|
| Долг (млн рублей) | $S$ | $0{,}8S$ | $0{,}5S$ | $0$ |

Найдите наибольшее значение $S$, при котором каждая из выплат будет меньше 4 млн рублей.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: выразить каждый платёж через $S$, используя схему долга до и после начисления процентов, затем найти максимальное целое $S$ из системы неравенств.

Обозначим коэффициент увеличения: $k = 1 + \frac{15}{100} = 1{,}15$.

Проследим движение долга по годам:

**Год 1 (июль 2016 — июль 2017):**

Долг в конце июня 2016: $S$.

После начисления процентов в январе 2017: $Sk = 1{,}15S$.

Выплата в феврале–июне: $x_1 = 1{,}15S - 0{,}8S = 0{,}35S$.

**Год 2 (июль 2017 — июль 2018):**

Долг в конце июня 2017: $0{,}8S$.

После начисления процентов в январе 2018: $0{,}8S \cdot 1{,}15 = 0{,}92S$.

Выплата в феврале–июне: $x_2 = 0{,}92S - 0{,}5S = 0{,}42S$.

**Год 3 (июль 2018 — июль 2019):**

Долг в конце июня 2018: $0{,}5S$.

После начисления процентов в январе 2019: $0{,}5S \cdot 1{,}15 = 0{,}575S$.

Выплата в феврале–июне: $x_3 = 0{,}575S - 0 = 0{,}575S$.

Требуется, чтобы все выплаты были меньше 4 млн рублей:

$$0{,}35S < 4$$

$$0{,}42S < 4$$

$$0{,}575S < 4$$

Из первого неравенства: $S < \frac{4}{0{,}35} = \frac{400}{35} \approx 11{,}43$.

Из второго неравенства: $S < \frac{4}{0{,}42} = \frac{400}{42} \approx 9{,}52$.

Из третьего неравенства: $S < \frac{4}{0{,}575} = \frac{4000}{575} \approx 6{,}96$.

Наиболее ограничивающее условие: $S < 6{,}96$.

Наибольшее целое значение $S$, удовлетворяющее системе: $S = 6$.

Задание №16Финансовая математика и оптимизацияЕГЭ по математике