Question

Высоты $BB_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$.

а) Докажите, что $\angle B_1C_1B = \angle BAH$.

б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника $ABC$, до стороны $BC$, если $B_1C_1 = 18$ и $\angle BAC = 30°$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: использовать свойства вписанных четырёхугольников и подобие треугольников для связи углов и сторон.

**а) Доказательство**

Рассмотрим четырёхугольник $AC_1HB_1$.

Поскольку $\angle AC_1C = \angle AB_1B = 90°$, сумма этих двух углов составляет $180°$. Следовательно, сумма двух оставшихся углов $\angle C_1HB_1$ и $\angle C_1AB_1$ также равна $180°$.

По признаку вписанного четырёхугольника, около $AC_1HB_1$ можно описать окружность.

Углы $\angle B_1C_1B$ и $\angle BAH$ — вписанные углы этой окружности, опирающиеся на одну и ту же дугу $B_1H$. Поэтому они равны:

$$\angle B_1C_1B = \angle BAH$$

**б) Вычисление расстояния**

Обозначим центр описанной окружности треугольника $ABC$ через $O$, а точку пересечения $OD$ со стороной $BC$ через $D$.

По свойству центрального и вписанного углов:

$$\angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 30° = 60°$$

Треугольник $BOC$ равнобедренный (так как $OB = OC$ — радиусы). С углом $\angle BOC = 60°$ он становится равносторонним.

Четырёхугольник $BC_1B_1C$ также вписан в окружность (с диаметром $BC$). Если обозначить $\angle ABC = \alpha$, то $\angle C_1B_1C = 180° - \alpha$, откуда смежный угол $\angle AB_1C_1 = \alpha$.

Треугольники $AB_1C_1$ и $ABC$ подобны по двум углам (угол $A$ общий, $\angle AB_1C_1 = \angle ABC$).

Из подобия:

$$\frac{AB_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC}$$

Из прямоугольного треугольника $ABB_1$:

$$\frac{AB_1}{AB} = \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Следовательно:

$$\frac{B_1C_1}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$BC = \frac{2B_1C_1}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 18}{\sqrt{3}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3}$$

Расстояние от центра $O$ до стороны $BC$ равно высоте равностороннего треугольника $BOC$:

$$OD = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot BC = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 12\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} \cdot 12\sqrt{3}}{2} = \frac{12 \cdot 3}{2} = 18$$

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике