Question

Решите неравенство:

$$1+\frac{10}{{\log}_{2}x-5}+\frac{16}{{\log}_{2}^{2}x-{\log}_{2}(32{x}^{10})+30}\geq0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: упростить знаменатель второй дроби через свойства логарифма, ввести замену переменной и решить рациональное неравенство методом интервалов. Область определения: $x > 0$. Преобразуем знаменатель второй дроби: $${\log}_{2}^{2}x-{\log}_{2}(32{x}^{10})+30 = {\log}_{2}^{2}x-{\log}_{2}32-{\log}_{2}{x}^{10}+30$$ $$= {\log}_{2}^{2}x-5-10{\log}_{2}x+30 = {\log}_{2}^{2}x-10{\log}_{2}x+25$$ Исходное неравенство принимает вид: $$1+\frac{10}{{\log}_{2}x-5}+\frac{16}{{\log}_{2}^{2}x-10{\log}_{2}x+25}\geq0$$ Обозначим $t = {\log}_{2}x$. Заметим, что ${\log}_{2}^{2}x-10{\log}_{2}x+25 = (t-5)^2$: $$1+\frac{10}{t-5}+\frac{16}{(t-5)^{2}}\geq0$$ Приведём к общему знаменателю $(t-5)^2$: $$\frac{(t-5)^{2}+10(t-5)+16}{(t-5)^{2}}\geq0$$ Раскроем скобки в числителе: $$\frac{t^{2}-10t+25+10t-50+16}{(t-5)^{2}}\geq0$$ $$\frac{t^{2}-9}{(t-5)^{2}}\geq0$$ Разложим числитель: $$\frac{(t-3)(t+3)}{(t-5)^{2}}\geq0$$ Решим методом интервалов. Нули числителя: $t = -3$, $t = 3$. Нуль знаменателя: $t = 5$ (исключается). На числовой оси отмечаем точки и определяем знаки: - При $t < -3$: $(-)(-) / (+) = (+)$ ✓ - При $-3 < t < 3$: $(-)(+) / (+) = (-)$ ✗ - При $3 < t < 5$: $(+)(+) / (+) = (+)$ ✓ - При $t > 5$: $(+)(+) / (+) = (+)$ ✓ Решение в переменной $t$: $$t \in (-\infty, -3] \cup [3, 5) \cup (5, +\infty)$$ Возвращаемся к переменной $x$: $${\log}_{2}x \leq -3 \quad \Rightarrow \quad x \leq 2^{-3} = \frac{1}{8}$$ $${\log}_{2}x \geq 3 \quad \Rightarrow \quad x \geq 2^{3} = 8$$ $${\log}_{2}x < 5 \quad \Rightarrow \quad x < 2^{5} = 32$$ $${\log}_{2}x > 5 \quad \Rightarrow \quad x > 32$$ С учётом ограничения $x > 0$: $$x \in (0, \frac{1}{8}] \cup [8, 32) \cup (32, +\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике