Question

Высота над землёй подброшенного вверх мяча описывается формулой $h(t) = 1{,}4 + 9t - 5t^2$, где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах с момента броска. Найдите, в течение скольких секунд мяч находится на высоте не менее 3 метров.

Accepted Answer

1,4

Answer

Идея решения: найти моменты времени, когда мяч достигает высоты 3 метра, и вычислить разность между ними.

Мяч поднимается, затем падает. Он пересекает отметку 3 метра дважды: при подъёме и при спуске. Промежуток между этими моментами — искомое время.

Составим уравнение для высоты 3 метра:

$$3 = 1{,}4 + 9t - 5t^2$$

Приведём к стандартному виду:

$$5t^2 - 9t + 1{,}6 = 0$$

Умножим на 5, чтобы избежать дробей:

$$25t^2 - 45t + 8 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = 45^2 - 4 \cdot 25 \cdot 8 = 2025 - 800 = 1225$$

Вычислим корни:

$$t = \frac{45 \pm \sqrt{1225}}{50} = \frac{45 \pm 35}{50}$$

$$t_1 = \frac{45 + 35}{50} = \frac{80}{50} = 1{,}6$$

$$t_2 = \frac{45 - 35}{50} = \frac{10}{50} = 0{,}2$$

Время нахождения мяча на высоте не менее 3 метров:

$$\Delta t = t_1 - t_2 = 1{,}6 - 0{,}2 = 1{,}4$$

Задание №9Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике