Question

На доске написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых больше 10, но не превосходит 50. Некоторые из этих чисел (возможно, только одно) уменьшили на единицу. Числа, ставшие равными 10, удалили с доски, но на доске осталось хотя бы одно число.

а) Может ли среднее арифметическое увеличиться?

б) Если первоначальное среднее арифметическое равнялось 37, может ли среднее арифметическое оставшихся чисел равняться 44?

в) Если первоначальное среднее арифметическое равнялось 37, найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического оставшихся на доске чисел.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: в пункте (а) показать конкретный пример; в пункте (б) составить систему уравнений и получить противоречие; в пункте (в) минимизировать количество чисел 11 и максимизировать остальные. **а)** Рассмотрим пример: 10 чисел, равных 11, и 10 чисел, равных 12. Первоначальное среднее арифметическое: $$S_1 = \frac{11 \cdot 10 + 12 \cdot 10}{20} = \frac{230}{20} = 11{,}5$$ Уменьшим десять чисел 11 на единицу — получим десять нулей, которые удалим. На доске останутся 10 чисел, равных 12. Новое среднее арифметическое: $$S_2 = \frac{12 \cdot 10}{10} = 12$$ Поскольку $12 > 11{,}5$, среднее арифметическое увеличилось. **б)** Обозначим количество чисел 11 через $n$. Пусть остальные $(19 - n)$ чисел имеют сумму $b$, а двадцатое число равно $a$. Из условия на первоначальное среднее: $$11n + b + a = 37 \cdot 20 = 740 \quad (1)$$ После уменьшения на 1 и удаления $n$ чисел (ставших равными 10) на доске остаётся $(20 - n)$ чисел с суммой $b + a$. Новое среднее равно 44: $$\frac{b + a}{20 - n} = 44$$ $$b + a = 44(20 - n) = 880 - 44n \quad (2)$$ Подставим (2) в (1): $$11n + 880 - 44n = 740$$ $$-33n = -140$$ $$n = \frac{140}{33} \approx 4{,}24$$ Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, такая ситуация невозможна. **в)** Для максимизации среднего арифметического оставшихся чисел нужно минимизировать количество удаляемых чисел 11. Пусть количество чисел 11 равно $n$, остальные $(19 - n)$ чисел равны 50, а двадцатое число равно $a$ (где $11 < a \leq 50$). Из условия на первоначальное среднее: $$11n + 50(19 - n) + a = 740$$ $$11n + 950 - 50n + a = 740$$ $$a = 50n - 210$$ Для того чтобы $a$ было натуральным числом в диапазоне $(10, 50]$, требуется: $$10 < 50n - 210 \leq 50$$ $$220 < 50n \leq 260$$ $$4{,}4 < n \leq 5{,}2$$ Следовательно, $n = 5$. Тогда $a = 250 - 210 = 40$. Проверим: $\frac{6 \cdot 11 + 13 \cdot 50 + 40}{20} = \frac{66 + 650 + 40}{20} = \frac{756}{20} = 37{,}8$. Пересчитаем: при $n = 6$ получаем $a = 300 - 210 = 90 > 50$, что недопустимо. При $n = 5$ имеем $a = 40$. Исходный набор: шесть чисел 11, тринадцать чисел 50 и одно число 40. Проверка: $\frac{6 \cdot 11 + 13 \cdot 50 + 40}{20} = \frac{66 + 650 + 40}{20} = \frac{756}{20} = 37{,}8$. Это не равно 37. Пересчитаем с $n = 6$: $a = 300 - 210 = 90$, что невозможно. При $n = 5$: $a = 250 - 210 = 40$. Проверка: $\frac{55 + 950 - 250 + 40}{20} = \frac{795}{20} = 39{,}75 eq 37$. Переформулируем: $11n + 950 - 50n + a = 740$ даёт $-39n + a = -210$, откуда $a = 39n - 210$. При $n = 6$: $a = 234 - 210 = 24$. Проверка: $\frac{66 + 950 - 300 + 24}{20} = \frac{740}{20} = 37$. ✓ После удаления шести чисел 11 остаётся 14 чисел (тринадцать 50 и одно 24): $$S_2 = \frac{13 \cdot 50 + 24}{14} = \frac{650 + 24}{14} = \frac{674}{14} = 48\frac{1}{7}$$

Задание №19Параметры и теория чиселЕГЭ по математике