Question

Решите неравенство:

$$\log_4(6-6x) \geq \log_4(x^2-5x+4) - \log_4(x+3)$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить свойства логарифмов, найти область допустимых значений, затем использовать монотонность логарифма для перехода к рациональному неравенству.

**Область допустимых значений:**

Требуется выполнение трёх условий:

$$6 - 6x > 0 \Rightarrow x < 1$$

$$x^2 - 5x + 4 > 0$$

По теореме Виета корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$, поэтому $x \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$.

$$x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$$

Пересечение всех условий даёт ОДЗ: $(-3; 1)$.

**Преобразование неравенства:**

Используя свойство логарифма разности:

$$\log_4(6-6x) \geq \log_4 \frac{x^2-5x+4}{x+3}$$

Поскольку основание $4 > 1$, функция $\log_4 t$ возрастает, поэтому:

$$6 - 6x \geq \frac{x^2-5x+4}{x+3}$$

Перенесём всё в левую часть:

$$6 - 6x - \frac{x^2-5x+4}{x+3} \geq 0$$

$$\frac{6(1-x)(x+3) - (x^2-5x+4)}{x+3} \geq 0$$

$$\frac{6(x+3) - 6x(x+3) - (x^2-5x+4)}{x+3} \geq 0$$

$$\frac{6x + 18 - 6x^2 - 18x - x^2 + 5x - 4}{x+3} \geq 0$$

$$\frac{-7x^2 - 7x + 14}{x+3} \geq 0$$

$$\frac{-7(x^2 + x - 2)}{x+3} \geq 0$$

$$\frac{-7(x-1)(x+2)}{x+3} \geq 0$$

$$\frac{(x-1)(x+2)}{x+3} \leq 0$$

**Решение рационального неравенства:**

Нули числителя: $x = 1$, $x = -2$.

Нуль знаменателя: $x = -3$ (исключена).

По методу интервалов:

$$x \in (-\infty; -3) \cup [-2; 1]$$

**Пересечение с ОДЗ:**

$$x \in [(-\infty; -3) \cup [-2; 1]] \cap (-3; 1) = [-2; 1)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике