Question

Решите неравенство:

$$\frac{27^{x}-3\cdot 9^{x+1}+3^{x+5}-729}{50x^{2}+10x+0{,}5}\leq 0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: преобразовать числитель через замену переменной на степень тройки, разложить знаменатель и найти пересечение условий.

Знаменатель не равен нулю:

$$50x^{2}+10x+0{,}5
eq 0$$

Умножим на 2:

$$100x^{2}+20x+1
eq 0$$

$$(10x+1)^{2}
eq 0$$

$$x
eq -0{,}1$$

**Анализ числителя:**

Преобразуем числитель, выразив все через степени тройки:

$$27^{x} = 3^{3x}, \quad 9^{x+1} = 3^{2x+2}, \quad 3^{x+5} = 243 \cdot 3^{x}$$

Числитель принимает вид:

$$3^{3x}-3\cdot 3^{2x+2}+243\cdot 3^{x}-729$$

$$= 3^{3x}-27\cdot 3^{2x}+243\cdot 3^{x}-729$$

Обозначим $t = 3^{x}$ (где $t > 0$):

$$t^{3}-27t^{2}+243t-729$$

Заметим, что это куб разности:

$$(t-9)^{3} = t^{3}-3\cdot 9 \cdot t^{2}+3\cdot 81 \cdot t-729 = t^{3}-27t^{2}+243t-729$$

Следовательно:

$$(t-9)^{3}\leq 0$$

Вернёмся к переменной $x$:

$$(3^{x}-9)^{3}\leq 0$$

Так как функция $f(u) = u^{3}$ монотонна:

$$3^{x}-9\leq 0$$

$$3^{x}\leq 3^{2}$$

$$x\leq 2$$

**Объединение условий:**

Исходное неравенство требует, чтобы дробь была неположительна. Знаменатель $50x^{2}+10x+0{,}5 = 50(x+0{,}1)^{2} > 0$ при всех допустимых $x$, поэтому числитель должен быть неположительный, что даёт $x\leq 2$.

С учётом ограничения $x
eq -0{,}1$:

$$x\in (-\infty; -0{,}1)\cup (-0{,}1; 2]$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике