Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $x^2 + a^2 - x - 7a = |7x - a|$ имеет ровно два различных корня.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: раскрыть модуль по определению, свести каждый случай к уравнению окружности в плоскости $(x, a)$ и найти значения параметра, при которых ровно две точки пересечения окружностей удовлетворяют условиям на знак.

Раскроем модуль:

$$\begin{cases}
x^2 + a^2 - x - 7a = 7x - a, & 7x - a \geq 0 \
x^2 + a^2 - x - 7a = -(7x - a), & 7x - a < 0
\end{cases}$$

Упростим каждое уравнение:

$$\begin{cases}
x^2 - 8x + a^2 - 6a = 0, & a \leq 7x \quad (1) \
x^2 + 8x + a^2 - 8a = 0, & a > 7x \quad (2)
\end{cases}$$

**Уравнение (1):** Выделим полный квадрат$$x^2 - 8x + 16 + a^2 - 6a + 9 = 16 + 9$$

$$(x - 4)^2 + (a - 3)^2 = 25$$

Это окружность с центром $(4, 3)$ и радиусом $5$.

**Уравнение (2):** Выделим полный квадрат.

$$x^2 + 8x + 16 + a^2 - 8a + 16 = 16 + 16$$

$$(x + 4)^2 + (a - 4)^2 = 32$$

Это окружность с центром $(-4, 4)$ и радиусом $4\sqrt{2}$.

Найдём точки пересечения окружностей. Проверим точку $(0, 0)$:

$$(0 - 4)^2 + (0 - 3)^2 = 16 + 9 = 25 \quad \checkmark$$

$$(0 + 4)^2 + (0 - 4)^2 = 16 + 16 = 32 \quad \checkmark$$

Проверим точку $(-1, 7)$:

$$(-1 - 4)^2 + (7 - 3)^2 = 25 + 16 = 41 \quad 	ext{(не подходит)}$$

Пересчитаем. Вычтем уравнения окружностей:

$$(x - 4)^2 + (a - 3)^2 - (x + 4)^2 - (a - 4)^2 = 25 - 32$$

$$-16x + 2a - 7 = -7$$

$$a = 8x$$

Подставим в первое уравнение:

$$x^2 - 8x + 64x^2 - 48x = 0$$

$$65x^2 - 56x = 0$$

$$x(65x - 56) = 0$$

Получаем $x = 0$ (тогда $a = 0$) и $x = \frac{56}{65}$ (тогда $a = \frac{448}{65}$).

Проверим условия:
- При $(x, a) = (0, 0)$: $a = 0 \leq 7 \cdot 0 = 0$ ✓ (граница, принадлежит области (1))
- При $(x, a) = \left(\frac{56}{65}, \frac{448}{65}ight)$: $a = \frac{448}{65} > 7 \cdot \frac{56}{65} = \frac{392}{65}$ ✓ (принадлежит области (2))

Для ровно двух корней исходного уравнения нужно, чтобы горизонтальная прямая $a = 	ext{const}$ пересекала объединение дуг окружностей ровно в двух точках.

Из графика видно, что это происходит при $a = 8$ и $a = -1$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике