Question

Найдите точку минимума функции $y = (x+5)e^{x-5}$.

Accepted Answer

-6

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, затем определить характер экстремума методом интервалов. Вычислим производную функции: $$y' = e^{x-5} + (x+5) \cdot e^{x-5}$$ Вынесем общий множитель: $$y' = e^{x-5}(1 + x + 5) = e^{x-5}(x+6)$$ Приравняем производную к нулю: $$e^{x-5}(x+6) = 0$$ Поскольку $e^{x-5} > 0$ для всех $x$, получаем: $$x + 6 = 0 \implies x = -6$$ Исследуем знак производной методом интервалов: - При $x < -6$: $y' < 0$ (функция убывает) - При $x > -6$: $y' > 0$ (функция возрастает) Производная меняет знак с отрицательного на положительный, следовательно, $x = -6$ — точка минимума.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике