Question

а) Решите уравнение $2\sin^{2}\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)+\cos(\pi-x)=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить формулы приведения для упрощения тригонометрических выражений, затем решить полученное квадратное уравнение относительно косинуса.

**а) Решение уравнения**

Применим формулы приведения:
- $\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right) = -\cos x$
- $\cos(\pi-x) = -\cos x$

Подставим в исходное уравнение:

$$2(-\cos x)^2 + (-\cos x) = 0$$

$$2\cos^2 x - \cos x = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$\cos x(2\cos x - 1) = 0$$

Отсюда получаем два случая:

**Случай 1:** $\cos x = 0$

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**Случай 2:** $2\cos x - 1 = 0$, то есть $\cos x = \frac{1}{2}$

$$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке $\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]$**

Проверим корни первого семейства $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$:
- При $n = -2$: $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$ — принадлежит отрезку.
- При $n = -3$: $x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = -\frac{5\pi}{2}$ — не принадлежит (меньше $-2\pi$).

Проверим корни второго семейства $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$:
- При $n = -1$: $x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3}$ — принадлежит отрезку.

Проверим корни второго семейства $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$:
- При $n = 0$: $x = -\frac{\pi}{3}$ — не принадлежит (больше $-\frac{\pi}{2}$).
- При $n = -1$: $x = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3}$ — не принадлежит (меньше $-2\pi$).

Задание №13УравненияЕГЭ по математике