Question

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 107. Найдите объём шара.

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/gRafi2ZqgT6lNx79zRKMwFgrIkZYyAtm6rzUKubY.jpg)

Accepted Answer

428

Answer

Идея решения: используем условие равенства радиуса основания конуса и радиуса шара, чтобы выразить высоту конуса через его радиус, затем найдём объём шара через объём конуса.

Объём конуса вычисляется по формуле:

$$V_{	ext{конуса}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

По условию радиус основания конуса равен радиусу шара, обозначим его $r$. Поскольку конус вписан в шар, его вершина и окружность основания лежат на поверхности шара. Из геометрии такой конфигурации следует, что высота конуса равна его радиусу: $h = r$.

Подставим это в формулу объёма конуса:

$$V_{	ext{конуса}} = \frac{1}{3}\pi r^3 = 107$$

Отсюда получаем:

$$\pi r^3 = 321$$

Объём шара радиуса $r$ равен:

$$V_{	ext{шара}} = \frac{4}{3}\pi r^3$$

Подставим найденное значение $\pi r^3 = 321$:

$$V_{	ext{шара}} = \frac{4}{3} \cdot 321 = 428$$

Задание №3СтереометрияЕГЭ по математике