Question

а) Решите уравнение $4\cos^3 x - 2\sqrt{3}\cos 2x + 3\cos x = 2\sqrt{3}$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить формулу двойного угла для $\cos 2x$, привести уравнение к произведению и решить совокупность простейших тригонометрических уравнений.

**а) Решение уравнения**

Используем формулу $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

$$4\cos^3 x - 2\sqrt{3}(2\cos^2 x - 1) + 3\cos x = 2\sqrt{3}$$

Раскроем скобки:

$$4\cos^3 x - 4\sqrt{3}\cos^2 x + 2\sqrt{3} + 3\cos x = 2\sqrt{3}$$

Упростим:

$$4\cos^3 x - 4\sqrt{3}\cos^2 x + 3\cos x = 0$$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$$\cos x(4\cos^2 x - 4\sqrt{3}\cos x + 3) = 0$$

Заметим, что квадратный трёхчлен раскладывается как полный квадрат:

$$\cos x(2\cos x - \sqrt{3})^2 = 0$$

Получаем совокупность:

$$\left[\begin{array}{l} \cos x = 0 \ 2\cos x - \sqrt{3} = 0 \end{array}ight.$$

$$\left[\begin{array}{l} \cos x = 0 \ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}ight.$$

Решаем каждое уравнение:

$$\left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z} \ x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z} \end{array}ight.$$

Или в развёрнутом виде:

$$\left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z} \ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z} \ x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z} \end{array}ight.$$

**б) Отбор корней на промежутке $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}ight]$**

**Случай 1:** $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$

$$2\pi \leq \frac{\pi}{2} + \pi k \leq \frac{7\pi}{2}$$

Разделим на $\pi$:

$$2 \leq \frac{1}{2} + k \leq \frac{7}{2}$$

$$\frac{3}{2} \leq k \leq 3$$

Целые значения: $k = 2$ и $k = 3$.

При $k = 2$: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$.

При $k = 3$: $x = \frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2}$.

**Случай 2:** $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$$2\pi \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi k \leq \frac{7\pi}{2}$$

Разделим на $\pi$:

$$2 \leq \frac{1}{6} + 2k \leq \frac{7}{2}$$

$$\frac{11}{6} \leq 2k \leq \frac{20}{6}$$

$$\frac{11}{12} \leq k \leq \frac{10}{6}$$

Единственное целое значение: $k = 1$.

При $k = 1$: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$.

**Случай 3:** $x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$

$$2\pi \leq \frac{11\pi}{6} + 2\pi k \leq \frac{7\pi}{2}$$

Разделим на $\pi$:

$$2 \leq \frac{11}{6} + 2k \leq \frac{7}{2}$$

$$\frac{1}{6} \leq 2k \leq \frac{10}{6}$$

$$\frac{1}{12} \leq k \leq \frac{5}{6}$$

Целых значений $k$ в этом диапазоне нет.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике