Question

Две окружности касаются внешним образом в точке $K$ . Прямая $AB$ касается первой окружности в точке $A$ , а второй — в точке $B$ . Прямая $BK$ пересекает первую окружность в точке $D$ , прямая $AK$ пересекает вторую окружность в точке $C$ .

а) Докажите, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны.

б) Найдите площадь треугольника $AKB$ , если радиусы окружностей равны 4 и 1.

а) Докажите, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны.

б) Найдите площадь треугольника $AKB$, если радиусы окружностей равны 4 и 1.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: используя свойства касательных и вписанных углов, показать, что обе прямые перпендикулярны общей касательной, а затем применить подобие треугольников для вычисления площади.

**а) Доказательство параллельности**

Обозначим центры окружностей как $O_1$ и $O_2$. Пусть общая касательная к обеим окружностям в точке $K$ пересекает прямую $AB$ в точке $M$.

По свойству касательных, проведённых из одной точки:
$$AM = KM \quad 	ext{и} \quad KM = BM$$

Следовательно, $AM = BM$, то есть $M$ — середина отрезка $AB$. Поскольку медиана $KM$ треугольника $AKB$ равна половине стороны $AB$, к которой она проведена, треугольник $AKB$ является прямоугольным с прямым углом при $K$:
$$\angle AKB = 90°$$

Вписанный угол $\angle AKD$ опирается на дугу $AD$ первой окружности. Так как $\angle AKD = 90°$, этот угол опирается на диаметр, поэтому $AD$ — диаметр первой окружности. Следовательно:
$$AD \perp AB$$

Аналогично, вписанный угол $\angle BKC$ второй окружности равен $90°$, откуда $BC$ — диаметр второй окружности:
$$BC \perp AB$$

Так как обе прямые перпендикулярны $AB$, они параллельны друг другу:
$$AD \parallel BC$$

**б) Вычисление площади**

Пусть первая окружность имеет радиус $R_1 = 4$, вторая — радиус $R_2 = 1$.

Тогда $AD = 2R_1 = 8$ и $BC = 2R_2 = 2$.

Треугольники $BKC$ и $AKD$ подобны (оба прямоугольные с общим углом при $K$), коэффициент подобия равен:
$$k = \frac{AD}{BC} = \frac{8}{2} = 4$$

Обозначим $S_{BKC} = S$. Тогда площадь подобного треугольника:
$$S_{AKD} = k^2 \cdot S = 16S$$

Треугольники $AKD$ и $AKB$ имеют общую высоту из вершины $A$ к прямой $KB$. Поэтому отношение их площадей равно отношению оснований:
$$\frac{S_{AKD}}{S_{AKB}} = \frac{DK}{KB} = k = 4$$

Следовательно:
$$S_{AKB} = 4S$$

Аналогично:
$$S_{CKD} = 4S$$

Площадь трапеции $ABCD$ (с параллельными сторонами $AD$ и $BC$):
$$S_{ABCD} = S_{AKD} + S_{AKB} + S_{BKC} + S_{CKD} = 16S + 4S + S + 4S = 25S$$

Вычислим площадь трапеции через её основания и высоту. Проведём из $O_2$ перпендикуляр $O_2H$ к прямой $AD$. Этот перпендикуляр равен высоте трапеции. Из прямоугольного треугольника $O_2HO_1$:

Расстояние между центрами: $O_1O_2 = R_1 + R_2 = 5$.

Проекция $O_1H$ на $AD$: так как $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$, имеем $O_1H = R_1 - R_2 = 3$.

Высота трапеции:
$$O_2H = \sqrt{O_1O_2^2 - O_1H^2} = \sqrt{25 - 9} = 4$$

Площадь трапеции:
$$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot O_2H = \frac{8 + 2}{2} \cdot 4 = 20$$

Из уравнения $25S = 20$:
$$S = 0{,}8$$

Следовательно:
$$S_{AKB} = 4S = 3{,}2$$

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике