Question

Решите неравенство:

$$\frac{13}{3^{x}-81}\leq\frac{1}{3^{x}-9}$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: введём замену переменной, приведём дроби к общему знаменателю и применим метод интервалов.

Обозначим $t = 3^{x}$. Неравенство принимает вид:

$$\frac{13}{t-81}\leq\frac{1}{t-9}$$

Перенесём всё в левую часть:

$$\frac{13}{t-81}-\frac{1}{t-9}\leq 0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{13(t-9)-(t-81)}{(t-81)(t-9)}\leq 0$$

Упростим числитель:

$$\frac{13t-117-t+81}{(t-81)(t-9)}\leq 0$$

$$\frac{12t-36}{(t-81)(t-9)}\leq 0$$

Вынесем множитель из числителя:

$$\frac{12(t-3)}{(t-81)(t-9)}\leq 0$$

Применим метод интервалов. Критические точки: $t = 3$, $t = 9$, $t = 81$.

Анализируя знаки на каждом интервале (см. диаграмму), получаем:

$$t \leq 3 	ext{ или } 9 < t < 81$$

Вернёмся к переменной $x$:

$$3^{x} \leq 3 	ext{ или } 9 < 3^{x} < 81$$

$$3^{x} \leq 3^{1} 	ext{ или } 3^{2} < 3^{x} < 3^{4}$$

$$x \leq 1 	ext{ или } 2 < x < 4$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике