Question

Решите неравенство $(9^x – 3^{x+1})^2 + 8 \cdot 3^{x+1} < 8 \cdot 9^x + 20$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: переписать неравенство через степени одного основания, ввести замену $t = 3^x$, затем вспомогательную замену для упрощения квадратного выражения. Представим все члены через степени тройки: $$9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$$ $$3^{x+1} = 3 \cdot 3^x$$ Исходное неравенство принимает вид: $$(3^{2x} – 3 \cdot 3^x)^2 + 8 \cdot 3 \cdot 3^x < 8 \cdot 3^{2x} + 20$$ Обозначим $t = 3^x$, где $t > 0$: $$(t^2 – 3t)^2 + 24t < 8t^2 + 20$$ Раскроем скобки и перенесём всё в левую часть: $$(t^2 – 3t)^2 + 24t – 8t^2 – 20 < 0$$ Заметим, что $24t – 8t^2 = -8(t^2 – 3t)$: $$(t^2 – 3t)^2 – 8(t^2 – 3t) – 20 < 0$$ Введём замену $y = t^2 – 3t$: $$y^2 – 8y – 20 < 0$$ Разложим на множители: $$(y – 10)(y + 2) < 0$$ Отсюда $y \in (-2; 10)$. Вернёмся к переменной $t$: $$-2 < t^2 – 3t < 10$$ Это система двух неравенств: $$\begin{cases} t^2 – 3t > -2 \ t^2 – 3t < 10 \end{cases}$$ Для первого неравенства: $$t^2 – 3t + 2 > 0$$ $$(t – 1)(t – 2) > 0$$ $$t \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$$ Для второго неравенства: $$t^2 – 3t – 10 < 0$$ $$(t – 5)(t + 2) < 0$$ $$t \in (-2; 5)$$ Пересечение обоих условий с учётом $t > 0$: $$\begin{cases} t \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty) \ t \in (-2; 5) \ t > 0 \end{cases}$$ даёт $t \in (0; 1) \cup (2; 5)$. Вернёмся к переменной $x$: $$3^x \in (0; 1) \cup (2; 5)$$ Из $3^x \in (0; 1)$ получаем $x \in (-\infty; 0)$. Из $3^x \in (2; 5)$ получаем $x \in (\log_3 2; \log_3 5)$.

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике