Question

Все рёбра правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ имеют длину 6. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AA_1$ и $A_1C_1$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $BM$ и $MN$ перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями $BMN$ и $ABB_1$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: вычислить длины сторон треугольника $BMN$ и применить теорему Пифагора для доказательства перпендикулярности; затем найти угол между плоскостями через перпендикуляр к линии пересечения.

**а) Доказательство перпендикулярности**

Обозначим $K$ — середину ребра $AC$. Поскольку треугольник $ABC$ правильный, высота из $B$ проходит через $K$.

Найдём $BK$:
$$BK^2 = AB^2 - AK^2 = 36 - 9 = 27$$

Вычислим требуемые длины:

Для треугольника $BNK$ (прямоугольного в точке $K$):
$$BN^2 = BK^2 + KN^2 = 27 + 36 = 63$$

Для треугольника $BMA$ (прямоугольного в точке $A$):
$$BM^2 = BA^2 + AM^2 = 36 + 9 = 45$$

Для треугольника $NMA_1$ (прямоугольного в точке $A_1$):
$$MN^2 = A_1M^2 + A_1N^2 = 9 + 9 = 18$$

Проверим теорему Пифагора:
$$BN^2 = BM^2 + MN^2 \Rightarrow 63 = 45 + 18$$

Равенство выполняется, следовательно, треугольник $BMN$ прямоугольный с прямым углом при вершине $M$. Таким образом, $BM \perp MN$.

**б) Угол между плоскостями**

Пусть $H$ — точка на ребре $A_1B_1$ такая, что $NH \perp A_1B_1$.

Поскольку $A_1B_1 \perp AA_1$ (рёбра призмы), из условия $NH \perp A_1B_1$ следует, что $NH$ перпендикулярна плоскости $AA_1B_1B$. Значит, $MH$ — проекция отрезка $MN$ на эту плоскость.

Из условий:
- $BM \perp MN$ (доказано выше);
- $BM \perp NH$ (так как $NH \perp$ плоскости $AA_1B_1B$);
- $NH \perp MH$ (по определению проекции)

по теореме о трёх перпендикулярах получаем $BM \perp MH$.

Следовательно, угол между плоскостями $BMN$ и $ABB_1$ равен $\angle NMH$.

В прямоугольном треугольнике $MNH$:
$$MN = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

Высота правильного треугольника $A_1B_1C_1$ равна $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$. Поскольку $N$ — середина $A_1C_1$, расстояние от $N$ до $A_1B_1$ составляет половину этой высоты:
$$NH = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

Найдём синус угла:
$$\sin \angle NMH = \frac{NH}{MN} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{8}}$$

$$\angle NMH = \arcsin \sqrt{\frac{3}{8}}$$

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике