Question

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$ тыс. рублей в конце года $t$ (где $t = 1, 2, \ldots$). В конце любого года фонд может продать бумаги и положить средства на банковский счет. При этом в конце каждого следующего года сумма на счете возрастает на 25 %. В конце какого года фонду следует продать ценные бумаги, чтобы к концу двадцатого года накопленная сумма была максимальной?

Accepted Answer

Answer

Идея решения: сравнить темп роста стоимости ценных бумаг с банковским процентом и найти момент, когда бумаги перестают расти быстрее, чем деньги на счете. Обозначим через $f(t)$ процентный прирост стоимости ценных бумаг от года $t$ к году $t+1$: $$f(t) = \frac{(t+1)^2 - t^2}{t^2} \cdot 100\%$$ Раскроем скобки: $$f(t) = \frac{t^2 + 2t + 1 - t^2}{t^2} \cdot 100\% = \frac{2t + 1}{t^2} \cdot 100\%$$ Это можно переписать как: $$f(t) = \left(\frac{2}{t} + \frac{1}{t^2}\right) \cdot 100\%$$ Поскольку $t$ — натуральное число, функция $f(t)$ монотонно убывает. Фонду выгодно держать бумаги, пока их прирост превышает 25 %, и продать их, когда прирост упадет ниже этого уровня. Найдем, при каком $t$ прирост становится меньше 25 %: $$\frac{2t + 1}{t^2} \cdot 100\% < 25\%$$ $$\frac{2t + 1}{t^2} < \frac{1}{4}$$ $$4(2t + 1) < t^2$$ $$8t + 4 < t^2$$ $$t^2 - 8t - 4 > 0$$ Решим квадратное уравнение $t^2 - 8t - 4 = 0$: $$D = 64 + 16 = 80$$ $$t_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{5}$$ Поскольку $\sqrt{5} \approx 2{,}236$, имеем $2\sqrt{5} \approx 4{,}472$. Следовательно: - $t_1 = 4 - 2\sqrt{5} \approx -0{,}472$ (отрицательное, не подходит); - $t_2 = 4 + 2\sqrt{5} \approx 8{,}472$. Неравенство $t^2 - 8t - 4 > 0$ выполняется при $t > 4 + 2\sqrt{5}$. Наименьшее натуральное число, удовлетворяющее этому условию, — это $t = 9$.

Задание №16Финансовая математика и оптимизацияЕГЭ по математике