Question

а) Решите уравнение $\log_{4}(2^{2x} - \sqrt{3}\cos x - \sin 2x) = x$.

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: преобразовать логарифмическое уравнение в алгебраическое, используя определение логарифма, затем решить полученное тригонометрическое уравнение.

**а) Решение уравнения**

Применим определение логарифма. Поскольку $4^x > 0$, имеем:

$$2^{2x} - \sqrt{3}\cos x - \sin 2x = 4^x$$

Заметим, что $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$, поэтому:

$$2^{2x} - \sqrt{3}\cos x - \sin 2x = 2^{2x}$$

Упростим:

$$-\sqrt{3}\cos x - \sin 2x = 0$$

Используя формулу $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$$-\sqrt{3}\cos x - 2\sin x \cos x = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$\cos x(-\sqrt{3} - 2\sin x) = 0$$

Получаем два случая:

$$\cos x = 0 \quad 	ext{или} \quad \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Из первого условия:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Из второго условия:

$$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad 	ext{или} \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке**

Отберём корни, принадлежащие $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}ight]$. Поскольку длина отрезка не превосходит $2\pi$, удобно использовать тригонометрический круг (см. изображение).

Из семейства $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$:
- При $n = 0$: $x = \frac{\pi}{2}$ ✓
- При $n = 1$: $x = \frac{3\pi}{2}$ ✓

Из семейства $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$:
- При $n = 0$: $x = -\frac{\pi}{3}$ ✓

Из семейства $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$:
- При $n = 0$: $x = -\frac{2\pi}{3}$ ✗ (не входит в отрезок)
- При $n = 1$: $x = \frac{4\pi}{3}$ ✓

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/t414ZD9Im7e1TFHw7miB8lxyRUyfxmWuHpxwku1b.webp)

Задание №13УравненияЕГЭ по математике