Question

Решите неравенство:

$$\frac{4^{x}-3\cdot 2^{x+1}+4}{2^{x}-5}+\frac{3\cdot 2^{x+1}-46}{2^{x}-8}\leq 2^{x}+5$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: преобразовать исходное неравенство к виду с одной переменной через замену $t = 2^x$, привести к общему знаменателю и решить рациональное неравенство методом интервалов. Перепишем числители, используя свойства степеней: $$4^{x} = (2^{x})^{2}, \quad 2^{x+1} = 2 \cdot 2^{x}$$ Подставим в исходное неравенство: $$\frac{(2^{x})^{2}-3 \cdot 2 \cdot 2^{x}+4}{2^{x}-5}+\frac{3 \cdot 2 \cdot 2^{x}-46}{2^{x}-8}\leq 2^{x}+5$$ $$\frac{(2^{x})^{2}-6 \cdot 2^{x}+4}{2^{x}-5}+\frac{6 \cdot 2^{x}-46}{2^{x}-8}\leq 2^{x}+5$$ Введём замену $t = 2^{x}$, где $t > 0$: $$\frac{t^{2}-6t+4}{t-5}+\frac{6t-46}{t-8}\leq t+5$$ Перенесём правую часть влево: $$\frac{t^{2}-6t+4}{t-5}+\frac{6t-46}{t-8}-t-5\leq 0$$ Приведём к общему знаменателю $(t-5)(t-8)$: $$\frac{(t-8)(t^{2}-6t+4)+(t-5)(6t-46)-t(t-5)(t-8)-5(t-5)(t-8)}{(t-5)(t-8)}\leq 0$$ Раскроем скобки в числителе: - $(t-8)(t^{2}-6t+4) = t^{3}-6t^{2}+4t-8t^{2}+48t-32 = t^{3}-14t^{2}+52t-32$ - $(t-5)(6t-46) = 6t^{2}-46t-30t+230 = 6t^{2}-76t+230$ - $t(t-5)(t-8) = t(t^{2}-13t+40) = t^{3}-13t^{2}+40t$ - $5(t-5)(t-8) = 5(t^{2}-13t+40) = 5t^{2}-65t+200$ Числитель: $$t^{3}-14t^{2}+52t-32+6t^{2}-76t+230-t^{3}+13t^{2}-40t-5t^{2}+65t-200$$ $$= (t^{3}-t^{3})+(-14+6+13-5)t^{2}+(52-76-40+65)t+(-32+230-200)$$ $$= 0 \cdot t^{2}+t-2 = t-2$$ Получаем: $$\frac{t-2}{(t-5)(t-8)}\leq 0$$ Решим методом интервалов. Нули и точки разрыва: $t = 2$, $t = 5$, $t = 8$. Знаки на интервалах: - $t < 2$: $\frac{(-)}{(-)(-)}\leq 0$ ✓ - $2 < t < 5$: $\frac{(+)}{(-)(-)}\leq 0$ ✗ - $5 < t < 8$: $\frac{(+)}{(+)(-)}\leq 0$ ✓ - $t > 8$: $\frac{(+)}{(+)(+)}\leq 0$ ✗ Включаем точку $t = 2$ (числитель обращается в нуль): $$t \in (-\infty; 2] \cup (5; 8)$$ Вернёмся к переменной $x$: $$2^{x} \leq 2 \quad ext{или} \quad 5 < 2^{x} < 8$$ $$x \leq 1 \quad ext{или} \quad \log_{2} 5 < x < 3$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике