Question

Решите неравенство:

$$x^2 \log_{512}(x+7) \leq \log_2(x^2 + 14x + 49)$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: преобразовать основания логарифмов к единому основанию 2, привести к произведению множителей и применить метод рационализации. Переведём логарифм по основанию 512 в основание 2: $$x^2 \log_{2^9}(x+7) \leq \log_2(x+7)^2$$ Упростим правую часть: $$x^2 \cdot \frac{\log_2(x+7)}{9} \leq 2\log_2|x+7|$$ Поскольку под логарифмом стоит $x+7$, то $x+7 > 0$, поэтому $|x+7| = x+7$: $$\frac{x^2}{9}\log_2(x+7) \leq 2\log_2(x+7)$$ Найдём область допустимых значений. Требуется: - $x + 7 > 0$, откуда $x > -7$; - $x^2 + 14x + 49 > 0$, то есть $(x+7)^2 > 0$, откуда $x eq -7$. Объединяя, получаем $x > -7$. Перенесём всё в левую часть: $$\frac{x^2}{9}\log_2(x+7) - 2\log_2(x+7) \leq 0$$ Вынесем общий множитель: $$\log_2(x+7)\left(\frac{x^2}{9} - 2 ight) \leq 0$$ Умножим на 9: $$\log_2(x+7)(x^2 - 18) \leq 0$$ Применим метод рационализации. Неравенство $\log_a f \cdot g \leq 0$ равносильно $(a-1)(f-1) \cdot g \leq 0$ при $f > 0$: $$(2-1)(x+7-1)(x^2-18) \leq 0$$ $$(x+6)(x^2-18) \leq 0$$ Разложим $x^2 - 18 = (x - \sqrt{18})(x + \sqrt{18}) = (x - 3\sqrt{2})(x + 3\sqrt{2})$: $$(x+6)(x-3\sqrt{2})(x+3\sqrt{2}) \leq 0$$ Нули множителей: $x = -6$, $x = -3\sqrt{2}$, $x = 3\sqrt{2}$. Заметим, что $-3\sqrt{2} \approx -4{,}24$, поэтому $-6 < -3\sqrt{2} < 3\sqrt{2}$. По методу интервалов (см. диаграмму): $$x \in (-\infty; -6] \cup [-3\sqrt{2}; 3\sqrt{2}]$$ Пересечём с условием $x > -7$: $$x \in (-7; -6] \cup [-3\sqrt{2}; 3\sqrt{2}]$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике