Question

Найдите значение выражения $\frac{\sqrt[28]{3}\cdot3\cdot\sqrt[21]{3}}{\sqrt[12]{3}}$.

Accepted Answer

3

Answer

Идея решения: представить все корни через дробные показатели степеней и применить свойства степеней с одинаковым основанием.

Преобразуем корни в степени с дробными показателями:

$$\frac{\sqrt[28]{3}\cdot3\cdot\sqrt[21]{3}}{\sqrt[12]{3}}=\frac{3^{\frac{1}{28}}\cdot3^{1}\cdot3^{\frac{1}{21}}}{3^{\frac{1}{12}}}$$

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются, при умножении — складываются:

$$3^{\frac{1}{28}+\frac{1}{21}+1-\frac{1}{12}}$$

Приведём дроби $\frac{1}{28}$, $\frac{1}{21}$ и $\frac{1}{12}$ к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел 28, 21 и 12 равно 84:

$$\frac{1}{28}=\frac{3}{84}, \quad \frac{1}{21}=\frac{4}{84}, \quad \frac{1}{12}=\frac{7}{84}$$

Подставим:

$$3^{\frac{3}{84}+\frac{4}{84}+1-\frac{7}{84}}=3^{\frac{3+4-7}{84}+1}=3^{\frac{0}{84}+1}=3^{0+1}=3^{1}=3$$

Задание №7Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике