Question

Решите неравенство:

$$1+\frac{6}{{\log}_{3}x-3}+\frac{5}{{\log}_{3}^{2}x-{\log}_{3}(27{x}^{6})+12}\geq0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: ввести замену $t = \log_3 x$, упростить знаменатели через свойства логарифма, привести к общему знаменателю и решить рациональное неравенство методом интервалов. Область определения: $x > 0$. Упростим второй знаменатель, используя свойства логарифма: $${\log}_{3}(27x^{6}) = {\log}_{3}27 + {\log}_{3}x^{6} = 3 + 6{\log}_{3}x$$ Неравенство принимает вид: $$1+\frac{6}{{\log}_{3}x-3}+\frac{5}{{\log}_{3}^{2}x-3-6{\log}_{3}x+12}\geq0$$ Введём замену $t = {\log}_{3}x$: $$1+\frac{6}{t-3}+\frac{5}{t^{2}-6t+9}\geq0$$ Заметим, что $t^{2}-6t+9 = (t-3)^{2}$: $$1+\frac{6}{t-3}+\frac{5}{(t-3)^{2}}\geq0$$ Приведём к общему знаменателю $(t-3)^{2}$: $$\frac{(t-3)^{2}+6(t-3)+5}{(t-3)^{2}}\geq0$$ Раскроем скобки в числителе: $$\frac{t^{2}-6t+9+6t-18+5}{(t-3)^{2}}\geq0$$ $$\frac{t^{2}-4}{(t-3)^{2}}\geq0$$ Разложим числитель: $$\frac{(t-2)(t+2)}{(t-3)^{2}}\geq0$$ Решим методом интервалов. Критические точки: $t = -2$, $t = 2$, $t = 3$ (точка $t = 3$ исключена из области определения). На числовой оси получаем решение: $$t \in (-\infty, -2] \cup [2, 3) \cup (3, +\infty)$$ Вернёмся к переменной $x$, используя $t = {\log}_{3}x$: - ${\log}_{3}x \leq -2 \Rightarrow x \leq 3^{-2} = \frac{1}{9}$ - ${\log}_{3}x \geq 2 \Rightarrow x \geq 3^{2} = 9$ - ${\log}_{3}x < 3 \Rightarrow x < 3^{3} = 27$ - ${\log}_{3}x > 3 \Rightarrow x > 27$ Учитывая ограничение $x > 0$: $$x \in (0, \frac{1}{9}] \cup [9, 27) \cup (27, +\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике