Question

В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ и медиана $AM$ , угол $ACB$ равен $30°$ . Точка $H$ лежит на отрезке $BM$ . В треугольнике $ACM$ проведена высота $MQ$ . Прямые $MQ$ и $AH$ пересекаются в точке $F$ . Известно, что $AM$ — биссектриса угла $HAC$ .

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника $CFM$ , если $AB = 10$ .

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника $CFM$, если $AB = 10$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: используя равенство треугольников, вытекающее из условия биссектрисы, установить, что медиана равна половине гипотенузы, откуда следует прямой угол.

**а) Доказательство**

Рассмотрим треугольники $AQM$ и $AHM$. Они имеют общую сторону $AM$, равные углы $\angle QAM = \angle MAH$ (так как $AM$ — биссектриса угла $HAC$) и равные прямые углы $\angle AQM = \angle AHM = 90°$. Следовательно, $	riangle AQM = 	riangle AHM$.

Из равенства треугольников получаем $QM = MH$.

В прямоугольном треугольнике $QCM$ с углом $\angle QCM = 30°$ катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы:

$$QM = \frac{1}{2}CM$$

Обозначим $QM = x$, тогда $CM = 2x$ и $MH = x$.

По свойству биссектрисы угла $HAC$ в треугольнике $AHC$:

$$\frac{MH}{CM} = \frac{AH}{AC} = \frac{1}{2}$$

Из равенства треугольников $AQM$ и $AHM$ имеем $AH = AQ$. Следовательно:

$$AQ = \frac{1}{2}AC$$

Это означает, что $AQ = QC$.

Треугольники $QCM$ и $QMA$ равны по двум катетам: $QC = QA$ и $QM$ — общий катет. Поэтому $CM = AM = 2x$.

Медиана $AM$ равна половине стороны $BC$, к которой она проведена. Это возможно только если угол $\angle BAC = 90°$.

Таким образом, треугольник $ABC$ прямоугольный.

**б) Вычисление площади**

Сторона $AB$ лежит напротив угла $30°$, поэтому:

$$CB = 2AB = 20$$

Медиана из прямого угла равна половине гипотенузы:

$$AM = CM = MB = 10$$

Из условия $MH = \frac{1}{2}CM$ получаем:

$$MH = 5$$

Так как $MB = 10$, то:

$$HB = 5$$

Треугольники $MHF$ и $MQF$ равны по двум углам и общей стороне $MF$: $\angle CQM = \angle MHF = 90°$, $HM = QM = 5$, $\angle MFH = \angle QFM$ (вертикальные). Из этого равенства:

$$MF = \frac{1}{2}CM = 5$$

По теореме Пифагора для треугольника $ACB$:

$$AC^2 = CB^2 - AB^2 = 400 - 100 = 300$$

$$AC = 10\sqrt{3}$$

Так как $Q$ — основание высоты из $M$ в треугольнике $ACM$, и $AQ = \frac{1}{2}AC$:

$$CQ = \frac{1}{2}AC = 5\sqrt{3}$$

Площадь треугольника $CFM$ (где $CQ$ — высота к стороне $MF$):

$$S_{CFM} = \frac{1}{2} \cdot CQ \cdot MF = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{3} \cdot 10 = 25\sqrt{3}$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/I2OvnLB195Opsw0lGua5djH1vDuNOsuw2DLYaO8A.jpg)

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике