Question

Из пары натуральных чисел $(a;b)$, где $a > b$, за один ход получают пару $(a+b; a-b)$.

а) Возможно ли за несколько ходов получить из пары $(100;1)$ пару, в которой большее число равно $400$?

б) Возможно ли за несколько ходов получить из пары $(100;1)$ пару $(806;788)$?

в) Какое наименьшее значение $a$ может быть в паре $(a;b)$, из которой за несколько ходов можно получить пару $(806;788)$?

Accepted Answer

Answer

Идея решения: проследить, какие пары достижимы из исходной, применяя операцию несколько раз подряд, и использовать обратную операцию для анализа возможности получения целевой пары.

**а)** Применим операцию последовательно, начиная с $(100;1)$:

После первого хода: $(100+1; 100-1) = (101; 99)$.

После второго хода: $(101+99; 101-99) = (200; 2)$.

После третьего хода: $(200+2; 200-2) = (202; 198)$.

После четвёртого хода: $(202+198; 202-198) = (400; 4)$.

Таким образом, пара с большим числом, равным $400$, достижима.

**б)** Заметим, что за два последовательных хода из пары $(a;b)$ получается пара $(2a; 2b)$. Действительно:
- после первого хода: $(a+b; a-b)$;
- после второго хода: $(a+b+a-b; a+b-a+b) = (2a; 2b)$.

Следовательно, из пары $(100;1)$ можно получить только пары вида $2^k \cdot 100; 2^k \cdot 1$ или $2^k \cdot 101; 2^k \cdot 99$, где $k$ — неотрицательное целое число.

Число $806$ не представимо ни в виде $2^k \cdot 100$, ни в виде $2^k \cdot 101$. Поэтому пару $(806;788)$ невозможно получить из $(100;1)$.

**в)** Применим обратную операцию. Пара $(c;d)$ получается из пары $\left(\frac{c+d}{2}; \frac{c-d}{2}\right)$ за один ход, если оба числа $c$ и $d$ имеют одинаковую чётность.

Для пары $(806;788)$ оба числа чётные, поэтому:

$$\left(\frac{806+788}{2}; \frac{806-788}{2}\right) = (797; 9)$$

Для пары $(797;9)$ оба числа нечётные, поэтому:

$$\left(\frac{797+9}{2}; \frac{797-9}{2}\right) = (403; 394)$$

Для пары $(403;394)$ числа имеют разную чётность (одно нечётное, другое чётное), поэтому её нельзя получить ни из какой пары натуральных чисел за один ход.

Следовательно, наименьшее значение $a$ в паре, из которой можно получить $(806;788)$, равно $403$.

Задание №19Параметры и теория чиселЕГЭ по математике