Question

Найдите точку минимума функции $y = (x^2 - 11x + 11)e^{x+13}$.

Accepted Answer

9

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, применив правило произведения и метод интервалов. Вычислим производную функции: $$y' = (2x - 11)e^{x+13} + (x^2 - 11x + 11)e^{x+13}$$ Вынесем общий множитель: $$y' = e^{x+13}(2x - 11 + x^2 - 11x + 11)$$ $$y' = e^{x+13}(x^2 - 9x)$$ $$y' = e^{x+13} \cdot x \cdot (x - 9)$$ Приравняем производную к нулю: $$e^{x+13} \cdot x \cdot (x - 9) = 0$$ Поскольку $e^{x+13} > 0$ для всех $x$, получаем: $$x = 0 \quad ext{или} \quad x = 9$$ Применим метод интервалов для определения знака производной: - При $x < 0$: $y' > 0$ (функция возрастает) - При $0 < x < 9$: $y' < 0$ (функция убывает) - При $x > 9$: $y' > 0$ (функция возрастает) Следовательно, $x = 9$ — точка минимума.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике