Question

Вычислите значение выражения $\frac{12}{\sin(-\frac{25\pi}{4})\cos(\frac{23\pi}{4})}$.

Accepted Answer

-24

Answer

Идея решения: привести аргументы тригонометрических функций к стандартному виду, используя периодичность, а затем вычислить произведение в знаменателе.

Приведём аргументы к углам из основного диапазона:

$$-\frac{25\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} - 6\pi$$

$$\frac{23\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 6\pi$$

Используя периодичность синуса и косинуса (период $2\pi$), получаем:

$$\sin\left(-\frac{25\pi}{4}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$$

$$\cos\left(\frac{23\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$$

Вычислим значения:

$$\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Подставим в исходное выражение:

$$\frac{12}{\sin\left(-\frac{25\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{23\pi}{4}\right)} = \frac{12}{-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{12}{-\frac{2}{4}} = \frac{12}{-\frac{1}{2}} = -24$$

Задание №7Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике