Question

Найдите наибольшее значение функции $y = 11 + 6x - 4x\sqrt{x}$ на отрезке $[0; 1]$.

Accepted Answer

13

Answer

Идея решения: переписать функцию через степень, найти критическую точку из условия равенства нулю производной и сравнить значения на концах отрезка и в критической точке.

Представим функцию в виде:

$$y = 11 + 6x - 4x^{\frac{3}{2}}$$

Найдём производную:

$$y' = 6 - 4 \cdot \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}} = 6 - 6\sqrt{x}$$

Приравняем производную к нулю:

$$6 - 6\sqrt{x} = 0$$

$$\sqrt{x} = 1$$

$$x = 1$$

Точка $x = 1$ принадлежит отрезку $[0; 1]$.

Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

При $x = 0$:

$$y(0) = 11$$

При $x = 1$:

$$y(1) = 11 + 6 \cdot 1 - 4 \cdot 1^{\frac{3}{2}} = 11 + 6 - 4 = 13$$

Сравнивая значения, получаем максимум: $y_{\max} = 13$.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике