Question

а) Решите уравнение $2\cos^3 x - 2\cos x + \sin^2 x = 0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: заменить $\sin^2 x$ через основное тригонометрическое тождество, разложить полученное выражение на множители и решить совокупность простейших уравнений.

**а)** Используя $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, преобразуем исходное уравнение:

$$2\cos^3 x - 2\cos x + 1 - \cos^2 x = 0$$

Перегруппируем слагаемые:

$$2\cos x(\cos^2 x - 1) - (\cos^2 x - 1) = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$(\cos^2 x - 1)(2\cos x - 1) = 0$$

Получаем два случая:

$$\cos^2 x = 1 \quad 	ext{или} \quad \cos x = \frac{1}{2}$$

Из первого условия: $\cos x = \pm 1$, откуда

$$x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \quad 	ext{или} \quad x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Из второго условия:

$$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$$

Объединяя, получаем общее решение:

$$x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \quad 	ext{или} \quad x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$$

**б)** Отберём корни из отрезка $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\piight]$ с помощью тригонометрической окружности.

Из семейства $x = \pi k$:
- При $k = 2$: $x = 2\pi$ (входит в отрезок)
- При $k = 3$: $x = 3\pi$ (входит в отрезок)

Из семейства $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi m$:
- При $m = 1$: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$ (входит в отрезок)

Из семейства $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m$:
- При $m = 1$: $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$ (входит в отрезок)

Задание №13УравненияЕГЭ по математике