Question

Найдите наибольшее значение функции $y = x^3 - 9x^2 + 24x - 7$ на отрезке $[-1; 3]$.

Accepted Answer

13

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, определить характер монотонности на заданном отрезке и вычислить значение функции в точке максимума.

Вычислим производную:
$$y' = 3x^2 - 18x + 24$$

Приравняем её к нулю:
$$3x^2 - 18x + 24 = 0$$

Разделим на 3:
$$x^2 - 6x + 8 = 0$$

Решая квадратное уравнение:
$$(x - 2)(x - 4) = 0$$

Получаем $x = 2$ и $x = 4$.

Так как $x = 4$ лежит вне отрезка $[-1; 3]$, рассмотрим только $x = 2$.

Проанализируем знак производной:
- При $x < 2$: $y' > 0$ (функция возрастает)
- При $2 < x < 4$: $y' < 0$ (функция убывает)

На отрезке $[-1; 3]$ функция возрастает на $[-1; 2]$ и убывает на $[2; 3]$, поэтому максимум достигается в точке $x = 2$.

Вычислим значение функции:
$$y(2) = 2^3 - 9 \cdot 2^2 + 24 \cdot 2 - 7 = 8 - 36 + 48 - 7 = 13$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике