Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} ax^{2}+ay^{2}+2ax+(a+2)y+1=0 \ xy+1=x+y \end{array} ight.$$

имеет ровно четыре различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить второе уравнение на множители, свести систему к двум случаям, найти условия на дискриминанты и исключить значения, при которых решения совпадают. Преобразуем второе уравнение: $$xy + 1 = x + y$$ $$xy - x - y + 1 = 0$$ $$x(y - 1) - (y - 1) = 0$$ $$(x - 1)(y - 1) = 0$$ Следовательно, либо $x = 1$, либо $y = 1$. Исходная система равносильна совокупности двух систем: $$\left[ \begin{array}{c} \left\{ \begin{array}{c} ax^{2}+ay^{2}+2ax+(a+2)y+1=0 \ x=1 \end{array} ight. \ \left\{ \begin{array}{c} ax^{2}+ay^{2}+2ax+(a+2)y+1=0 \ y=1 \end{array} ight. \end{array} ight.$$ **Первая система** (подставляем $x = 1$): $$a + ay^{2} + 2a + (a+2)y + 1 = 0$$ $$ay^{2} + (a+2)y + 3a + 1 = 0 \quad (1)$$ **Вторая система** (подставляем $y = 1$): $$ax^{2} + a + 2ax + (a+2) + 1 = 0$$ $$ax^{2} + 2ax + 2a + 3 = 0 \quad (2)$$ Для четырёх различных решений необходимо, чтобы каждое из уравнений (1) и (2) имело ровно два решения. Это требует $a eq 0$ и положительности обоих дискриминантов. **Для уравнения (1):** $$D_1 = (a+2)^{2} - 4a(3a+1) = a^{2} + 4a + 4 - 12a^{2} - 4a = -11a^{2} + 4$$ $$D_1 > 0 \Rightarrow 4 - 11a^{2} > 0 \Rightarrow a^{2} < \frac{4}{11} \Rightarrow a \in \left(-\frac{2\sqrt{11}}{11}; \frac{2\sqrt{11}}{11} ight)$$ **Для уравнения (2):** $$D_2 = 4a^{2} - 4a(2a+3) = 4a^{2} - 8a^{2} - 12a = -4a^{2} - 12a$$ $$D_2 > 0 \Rightarrow -4a^{2} - 12a > 0 \Rightarrow -4a(a+3) > 0 \Rightarrow a(a+3) < 0$$ $$a \in (-3; 0)$$ Пересечение условий: $$a \in \left(-\frac{2\sqrt{11}}{11}; \frac{2\sqrt{11}}{11} ight) \cap (-3; 0) = \left(-\frac{2\sqrt{11}}{11}; 0 ight)$$ Проверим, не совпадают ли решения. Точка $(1; 1)$ удовлетворяет второму уравнению системы при любом $a$. Подставим в первое: $$a + a + 2a + (a+2) + 1 = 0$$ $$5a + 3 = 0 \Rightarrow a = -\frac{3}{5}$$ При $a = -\frac{3}{5}$ точка $(1; 1)$ является решением обеих систем, поэтому общее число решений будет меньше четырёх. Исключаем $a = -\frac{3}{5}$ из интервала $\left(-\frac{2\sqrt{11}}{11}; 0 ight)$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике