Question

В ромбе $ABCD$ прямая, перпендикулярная стороне $BC$, пересекает диагональ $AC$ в точке $M$, диагональ $BD$ в точке $N$. Известно, что $AM:MC = 1:2$ и $BN:ND = 1:3$.

а) Докажите, что эта прямая делит сторону $BC$ в отношении $1:4$, считая от точки $B$.

б) Найдите сторону ромба, если $MN = 3\sqrt{2}$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить теорему Менелая для нахождения точки пересечения с $BC$, затем использовать подобие треугольников для связи сторон ромба с длиной $MN$.

**Часть а)**

Обозначим точку пересечения прямой со стороной $BC$ как $K$, а $O$ — точку пересечения диагоналей ромба.

В ромбе диагонали делятся пополам, поэтому:

$$AO = \frac{1}{2}AC, \quad OB = \frac{1}{2}BD$$

Из условия $AM:MC = 1:2$ получаем:

$$AM = \frac{1}{3}AC, \quad MC = \frac{2}{3}AC$$

Найдём расстояние от $M$ до $O$:

$$MO = AO - AM = \frac{1}{2}AC - \frac{1}{3}AC = \frac{1}{6}AC$$

Из условия $BN:ND = 1:3$ получаем:

$$BN = \frac{1}{4}BD$$

Найдём расстояние от $N$ до $O$:

$$ON = OB - BN = \frac{1}{2}BD - \frac{1}{4}BD = \frac{1}{4}BD$$

Применим теорему Менелая к треугольнику $BOC$ и прямой $KMN$:

$$\frac{CM}{MO} \cdot \frac{ON}{NB} \cdot \frac{BK}{KC} = 1$$

Подставим найденные значения:

$$\frac{\frac{2}{3}AC}{\frac{1}{6}AC} \cdot \frac{\frac{1}{4}BD}{\frac{1}{4}BD} \cdot \frac{BK}{KC} = 1$$

$$\frac{2 \cdot 6}{3} \cdot 1 \cdot \frac{BK}{KC} = 1$$

$$4 \cdot \frac{BK}{KC} = 1$$

$$\frac{BK}{KC} = \frac{1}{4}$$

Таким образом, $BK:KC = 1:4$, что и требовалось доказать.

**Часть б)**

Рассмотрим углы. Поскольку $KN \perp BC$:

$$\angle MNO = \angle BNK = 90° - \angle NBK = 90° - \angle ABO = \angle BAO$$

Треугольники $ABO$ и $MNO$ — оба прямоугольные (с прямыми углами при $O$). Из равенства углов $\angle MNO = \angle BAO$ следует подобие:

$$	riangle ABO \sim 	riangle MNO$$

Из подобия:

$$\frac{AB}{MN} = \frac{AO}{NO} = \frac{BO}{MO}$$

Из части а) имеем:

$$AO = 3MO, \quad BO = 2NO$$

Из второго и третьего отношений подобия:

$$\frac{AO}{NO} = \frac{BO}{MO}$$

$$\frac{3MO}{NO} = \frac{2NO}{MO}$$

$$3MO^2 = 2NO^2$$

$$\frac{MO}{NO} = \sqrt{\frac{2}{3}}$$

Тогда:

$$\frac{AB}{MN} = \frac{AO}{NO} = \frac{3MO}{NO} = 3\sqrt{\frac{2}{3}}$$

$$AB = MN \cdot 3\sqrt{\frac{2}{3}} = 3\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{\frac{2}{3}} = 9 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{2}{3}} = 9 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/D5zTpH1DGUeEGW0kaKp1ty56QVZkECOvZiH2aKbf.jpg)

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике