Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} \sqrt{36-y^{2}}=\sqrt{36-a^{2}x^{2}} \ x^{2}+y^{2}=2x+6y \end{array} ight.$$

имеет ровно два различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: свести первое уравнение к условию на модули переменных, преобразовать второе в окружность и найти значения параметра, при которых прямые $y = ax$ и $y = -ax$ пересекают окружность ровно в двух точках.

Из первого уравнения возведём обе части в квадрат:

$$36 - y^{2} = 36 - a^{2}x^{2}$$

$$y^{2} = a^{2}x^{2}$$

Это означает $y = ax$ или $y = -ax$.

Преобразуем второе уравнение, выделив полные квадраты:

$$x^{2} - 2x + 1 + y^{2} - 6y + 9 = 10$$

$$(x-1)^{2} + (y-3)^{2} = 10$$

Это окружность с центром $(1; 3)$ и радиусом $\sqrt{10}$.

Из первого уравнения также требуется $36 - y^{2} \geq 0$, откуда $-6 \leq y \leq 6$.

Система имеет ровно два решения в трёх случаях.

**Случай 1.** Прямые $y = ax$ и $y = -ax$ пересекают окружность в четырёх точках, но две из них лежат вне полосы $-6 \leq y \leq 6$.

Найдём точки пересечения прямых с границей полосы. При $y = 6$:

$$6 = ax \Rightarrow x = \frac{6}{a} \quad 	ext{или} \quad 6 = -ax \Rightarrow x = -\frac{6}{a}$$

Проверим, лежит ли точка $(2; 6)$ на окружности:

$$(2-1)^{2} + (6-3)^{2} = 1 + 9 = 10$$

Да. Тогда $6 = 2a$ или $6 = -2a$, откуда $a = 3$ или $a = -3$.

**Случай 2.** Одна из прямых касается окружности.

Прямая $y = ax$ касается окружности, если расстояние от центра $(1; 3)$ до прямой равно $\sqrt{10}$:

$$\frac{|a \cdot 1 - 3|}{\sqrt{a^{2}+1}} = \sqrt{10}$$

$$|a - 3|^{2} = 10(a^{2}+1)$$

$$a^{2} - 6a + 9 = 10a^{2} + 10$$

$$9a^{2} + 6a + 1 = 0$$

$$(3a + 1)^{2} = 0$$

$$a = -\frac{1}{3}$$

Аналогично для прямой $y = -ax$:

$$\frac{|-a - 3|}{\sqrt{a^{2}+1}} = \sqrt{10}$$

$$|a + 3|^{2} = 10(a^{2}+1)$$

$$a^{2} + 6a + 9 = 10a^{2} + 10$$

$$9a^{2} - 6a + 1 = 0$$

$$(3a - 1)^{2} = 0$$

$$a = \frac{1}{3}$$

**Случай 3.** Одна из прямых совпадает с осью абсцисс.

При $a = 0$ прямая $y = 0$ пересекает окружность в двух точках. Подставим в уравнение окружности:

$$(x-1)^{2} + 9 = 10$$

$$(x-1)^{2} = 1$$

$$x = 0 \quad 	ext{или} \quad x = 2$$

Оба решения удовлетворяют условию $-6 \leq 0 \leq 6$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике