Question

Решите неравенство:

$$\frac{0{,}25^{x}-4}{16^{x}-4^{x+2}+64}\leq0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: найти область определения из условия ненулевости знаменателя, затем решить неравенство, используя свойства показательной функции.

**Область определения:**

Знаменатель не должен равняться нулю:

$$16^{x}-4^{x+2}+64
eq0$$

Преобразуем, выразив через степени четвёрки:

$$4^{2x}-4^{x}\cdot 4^{2}+64
eq0$$

$$4^{2x}-16\cdot 4^{x}+64
eq0$$

Обозначим $t = 4^{x}$ (где $t > 0$):

$$t^{2}-16t+64
eq0$$

$$(t-8)^{2}
eq0$$

$$t
eq8$$

Возвращаясь к переменной $x$:

$$4^{x}
eq8$$

$$2^{2x}
eq2^{3}$$

$$2x
eq3$$

$$x
eq\frac{3}{2}$$

**Решение неравенства:**

Дробь не превосходит нуля, когда числитель и знаменатель имеют противоположные знаки или числитель равен нулю. Поскольку знаменатель $(4^{x}-8)^{2}$ всегда неотрицателен (и не равен нулю в области определения), он положителен. Следовательно, необходимо:

$$0{,}25^{x}-4\leq0$$

Представим $0{,}25$ как степень четвёрки:

$$\left(\frac{1}{4}ight)^{x}-4\leq0$$

$$4^{-x}\leq4^{1}$$

Поскольку функция $4^{t}$ возрастает:

$$-x\leq1$$

$$x\geq-1$$

**Учёт ограничения:**

Объединяя условие $x\geq-1$ с исключением $x
eq\frac{3}{2}$, получаем:

$$x\in[-1; \frac{3}{2})\cup(\frac{3}{2}; +\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике