Question

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O$ . Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A$ . Известно, что $\angle MNK = 90°$ , $\angle NKL = \angle KLM = 120°$ .

а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO$ .

б) Найдите длину стороны $MN$ , если $LA = 1$ .

а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO$.

б) Найдите длину стороны $MN$, если $LA = 1$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов четырёхугольника; используя свойства касательных и углы четырёхугольника, покажем коллинеарность точек $L$, $O$, $A$, а затем найдём $MN$ через радиус окружности.

**а) Доказательство**

Поскольку $O$ — центр вписанной окружности, он расположен в пересечении биссектрис всех углов четырёхугольника. Следовательно, $LO$ делит угол $KLM$ пополам:

$$\angle KLO = \angle OLM = 60°$$

Обозначим точку касания окружности со стороной $LM$ как $H$. По свойству касательной:

$$OH \perp LM$$

В треугольнике $LHO$ имеем $\angle OLH = 60°$ и $\angle OHL = 90°$, откуда:

$$\angle LOH = 30°$$

Найдём угол $\angle NML$ четырёхугольника $NKLM$:

$$\angle NML = 360° - 90° - 120° - 120° = 30°$$

Рассмотрим четырёхугольник $AMHO$. Поскольку $A$ — точка касания окружности со стороной $NM$, имеем $OA \perp NM$, то есть $\angle OAM = 90°$. Также $\angle OHM = 90°$ (касательная перпендикулярна радиусу). Сумма углов четырёхугольника равна $360°$:

$$\angle AOH + \angle OHM + \angle HMA + \angle MAO = 360°$$

$$\angle AOH + 90° + 30° + 90° = 360°$$

$$\angle AOH = 150°$$

Таким образом:

$$\angle AOH + \angle LOH = 150° + 30° = 180°$$

Это означает, что точки $L$, $O$, $A$ лежат на одной прямой, то есть $A$ принадлежит прямой $LO$. ✓

**б) Нахождение длины $MN$**

Треугольник $ALM$ прямоугольный (так как $OH \perp LM$ и $A$ лежит на $LO$, перпендикулярном к $LM$ в точке $H$). При $\angle AML = 30°$ и $LA = 1$:

$$LM = \frac{LA}{\sin 30°} = \frac{1}{1/2} = 2$$

По теореме Пифагора:

$$AM^2 = LM^2 - LA^2 = 4 - 1 = 3$$

$$AM = \sqrt{3}$$

Из треугольника $LOH$ с $\angle OLH = 60°$ и $\angle OHL = 90°$:

$$\sin 60° = \frac{OH}{LO} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$LO = \frac{2OH}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot OH$$

Поскольку $A$ лежит на $LO$ между $L$ и $O$, и $OH = OA$ (оба радиусы):

$$LA = LO - OA = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot OH - OH = OH \left(\frac{2\sqrt{3}}{3} - 1ight)$$

Однако из геометрии конфигурации $LA = LO + OA$ (точка $O$ между $L$ и $A$):

$$1 = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot OH + OH = OH \left(\frac{2\sqrt{3}}{3} + 1ight)$$

$$OH = \frac{1}{\frac{2\sqrt{3} + 3}{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3} + 3}$$

Поскольку $O$ — центр вписанной окружности, $NO$ — биссектриса угла $\angle MNK = 90°$, поэтому:

$$\angle ONA = 45°$$

В прямоугольном треугольнике $ONA$:

$$	an 45° = \frac{OA}{NA} = 1$$

$$NA = OA = OH$$

Рационализируя:

$$OH = \frac{3(2\sqrt{3} - 3)}{(2\sqrt{3} + 3)(2\sqrt{3} - 3)} = \frac{3(2\sqrt{3} - 3)}{12 - 9} = 2\sqrt{3} - 3$$

Таким образом:

$$MN = NA + AM = (2\sqrt{3} - 3) + \sqrt{3} = 3\sqrt{3} - 3$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/ny0YjPBNtDtTveoVSJ2r8wYoZ80LCxNIqvNzNZHN.jpg)

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике