Question

Найдите точку максимума функции $y=10\cdot\ln(x-2)-10x+11$.

Accepted Answer

3

Answer

Идея решения: найти критическую точку через производную и проверить её характер методом интервалов. Вычислим производную: $$y'=\frac{10}{x-2}-10$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{10}{x-2}-10=0$$ Умножим обе части на $(x-2)$: $$10-10(x-2)=0$$ $$10-10x+20=0$$ $$30-10x=0$$ $$x=3$$ Исследуем знак производной методом интервалов. При $x < 3$ (например, $x=2{,}5$): $y'=\frac{10}{0{,}5}-10=20-10=10>0$. При $x > 3$ (например, $x=4$): $y'=\frac{10}{2}-10=5-10=-5<0$. Производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, $x=3$ — точка максимума.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике