Question

а) Решите уравнение $4\cos^3 x + \sin x \left( x - \frac{\pi}{2} \right) = 0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\pi; 2\pi]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: используем формулу приведения для упрощения аргумента синуса, затем факторизуем полученное выражение.

**а)** Заметим, что $\sin\left(x - \frac{\pi}{2}ight) = -\cos x$.

Подставим в исходное уравнение:

$$4\cos^3 x - \cos x = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$\cos x(4\cos^2 x - 1) = 0$$

Отсюда получаем два условия:

$$\cos x = 0 \quad 	ext{или} \quad \cos^2 x = \frac{1}{4}$$

Из первого условия:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Из второго условия:

$$\cos x = \pm\frac{1}{2}$$

При $\cos x = \frac{1}{2}$:

$$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

При $\cos x = -\frac{1}{2}$:

$$x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**б)** Используя тригонометрическую окружность, выберем корни из отрезка $[\pi; 2\pi]$:

- Из семейства $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$: получаем $x_2 = \frac{3\pi}{2}$.

- Из семейства $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$: получаем $x_1 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

- Из семейства $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$: получаем $x_3 = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.

- Из семейств $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ корней в отрезке $[\pi; 2\pi]$ нет.

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/RbEjnl35i1kPyC4cpQ2UQDm3dpiq7YyIcTbv3hki.png)

Задание №13УравненияЕГЭ по математике