Question

а) Решите уравнение $\log_{2}(x^{2}+2x)=3$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\log_{3}0{,}1; \log_{3}13]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: преобразовать логарифмическое уравнение в алгебраическое, найти корни и проверить их принадлежность заданному промежутку. **а) Решение основного уравнения** Сначала определим область допустимых значений. Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x^{2}+2x>0$$ $$x(x+2)>0$$ $$x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$$ Применим определение логарифма: $$\log_{2}(x^{2}+2x)=3 \implies x^{2}+2x=2^{3}$$ $$x^{2}+2x=8$$ $$x^{2}+2x-8=0$$ По теореме Виета: $x_{1} \cdot x_{2} = -8$ и $x_{1} + x_{2} = -2$. Отсюда получаем $x_{1}=-4$ и $x_{2}=2$. Проверим принадлежность области допустимых значений: - $x_{1}=-4 \in (-\infty; -2)$ ✓ - $x_{2}=2 \in (0; +\infty)$ ✓ **б) Отбор корней на заданном отрезке** Преобразуем корни в логарифмическую форму: $$x_{1}=-4=\log_{3}3^{-4}=\log_{3}\frac{1}{81}$$ $$x_{2}=2=\log_{3}3^{2}=\log_{3}9$$ Определим границы отрезка численно. Заметим, что $0{,}1 < 1 < 3 < 9 < 13$, поэтому: $$\log_{3}0{,}1 < 0 < \log_{3}9 < \log_{3}13$$ Следовательно, $\log_{3}\frac{1}{81} < \log_{3}0{,}1$ (так как $\frac{1}{81} < 0{,}1$). Таким образом, только $x=2=\log_{3}9$ принадлежит отрезку $[\log_{3}0{,}1; \log_{3}13]$.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике