Question

Найдите точку максимума функции $y = x^3 - 12x^2 + 36x + 30$.

Accepted Answer

2

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную и определить, в какой из них функция достигает локального максимума. Вычислим производную: $$y' = 3x^2 - 24x + 36$$ Приравняем её к нулю: $$3x^2 - 24x + 36 = 0$$ Разделим на 3: $$x^2 - 8x + 12 = 0$$ По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = 8, \quad x_1 \cdot x_2 = 12$$ Отсюда получаем $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$. Проанализируем знак производной на интервалах: - При $x < 2$: $y' > 0$ (функция возрастает) - При $2 < x < 6$: $y' < 0$ (функция убывает) - При $x > 6$: $y' > 0$ (функция возрастает) Следовательно, в точке $x = 2$ функция переходит от возрастания к убыванию, что соответствует локальному максимуму.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике