Question

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг будет возрастать на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 104 800 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Accepted Answer

Answer

Идея решения: составить уравнение для остатка долга после трёх платежей, связать его с условием на сумму выплат и найти размер каждого платежа.

Обозначим через $S$ сумму кредита, через $x$ — размер каждого платежа, через $k = 1{,}25$ — коэффициент увеличения долга в январе.

По условию сумма трёх платежей превышает кредит на 104 800 рублей:

$$3x = S + 104800$$

Проследим изменение долга по годам:

| Период | До увеличения | После увеличения | Платёж | Остаток |
|--------|---------------|------------------|--------|---------|
| 1-й год | $S$ | $Sk$ | $x$ | $Sk - x$ |
| 2-й год | $Sk - x$ | $(Sk - x)k$ | $x$ | $(Sk - x)k - x$ |
| 3-й год | $(Sk - x)k - x$ | $((Sk - x)k - x)k$ | $x$ | $((Sk - x)k - x)k - x$ |

После третьего платежа долг полностью погашен:

$$((Sk - x)k - x)k - x = 0$$

Раскроем скобки:

$$Sk^3 - xk^2 - xk - x = 0$$

$$Sk^3 - x(k^2 + k + 1) = 0$$

$$S = \frac{x(k^2 + k + 1)}{k^3}$$

Подставим $k = \frac{5}{4}$:

$$S = \frac{x\left(\left(\frac{5}{4}\right)^2 + \frac{5}{4} + 1\right)}{\left(\frac{5}{4}\right)^3}$$

$$S = \frac{x\left(\frac{25}{16} + \frac{20}{16} + \frac{16}{16}\right)}{\frac{125}{64}} = \frac{x \cdot \frac{61}{16}}{\frac{125}{64}} = \frac{61x \cdot 64}{16 \cdot 125} = \frac{244x}{125}$$

Из условия $3x = S + 104800$ получаем:

$$3x = \frac{244x}{125} + 104800$$

$$3x - \frac{244x}{125} = 104800$$

$$\frac{375x - 244x}{125} = 104800$$

$$\frac{131x}{125} = 104800$$

$$131x = 13100000$$

$$x = 100000$$

Сумма всех выплат:

$$3x = 300000$$

Задание №16Финансовая математика и оптимизацияЕГЭ по математике