Question

Решите неравенство:

$$\log_{16}(x+5) + \log_{(x^2+10x+25)}2 \geq \frac{3}{4}$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: преобразовать второй логарифм через формулу перехода к новому основанию, ввести замену переменной и решить рациональное неравенство. Заметим, что $x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$. Перепишем исходное неравенство: $$\log_{16}(x+5) + \log_{(x+5)^2}2 \geq \frac{3}{4}$$ Найдём область допустимых значений: $$\begin{cases} x + 5 > 0 \ (x+5)^2 > 0 \ (x+5)^2 eq 1 \end{cases}$$ Это даёт нам $x > -5$, $x eq -5$, $x eq -6$, $x eq -4$. Следовательно, $x \in (-5; -4) \cup (-4; +\infty)$. Применим формулу перехода к основанию 16: $$\log_{16}(x+5) + \frac{\log_{16}2}{\log_{16}(x+5)^2} \geq \frac{3}{4}$$ Так как $\log_{16}2 = \frac{1}{4}$ и $\log_{16}(x+5)^2 = 2\log_{16}(x+5)$: $$\log_{16}(x+5) + \frac{1/4}{2\log_{16}(x+5)} \geq \frac{3}{4}$$ $$\log_{16}(x+5) + \frac{1}{8\log_{16}(x+5)} \geq \frac{3}{4}$$ Обозначим $t = \log_{16}(x+5)$: $$t + \frac{1}{8t} \geq \frac{3}{4}$$ $$t + \frac{1}{8t} - \frac{3}{4} \geq 0$$ $$\frac{8t^2 + 1 - 6t}{8t} \geq 0$$ $$\frac{8t^2 - 6t + 1}{8t} \geq 0$$ Решим $8t^2 - 6t + 1 = 0$: $$t = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{16} = \frac{6 \pm 2}{16}$$ $$t_1 = \frac{1}{4}, \quad t_2 = \frac{1}{2}$$ Нулевая точка знаменателя: $t = 0$. Методом интервалов на числовой оси $t$: $$t \in (0; \frac{1}{4}] \cup [\frac{1}{2}; +\infty)$$ Вернёмся к переменной $x$: **Случай 1:** $0 < t \leq \frac{1}{4}$ $$0 < \log_{16}(x+5) \leq \frac{1}{4}$$ $$1 < x + 5 \leq 16^{1/4} = 2$$ $$-4 < x \leq -3$$ **Случай 2:** $t \geq \frac{1}{2}$ $$\log_{16}(x+5) \geq \frac{1}{2}$$ $$x + 5 \geq 16^{1/2} = 4$$ $$x \geq -1$$ Объединяя оба случая: $$x \in (-4; -3] \cup [-1; +\infty)$$ Пересечение с областью допустимых значений $x \in (-5; -4) \cup (-4; +\infty)$ даёт: $$x \in (-4; -3] \cup [-1; +\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике