Question

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$$\sqrt{x^4 - 16x^2 + 64a^2} - x^2 + 4x - 8a = 0$$
имеет ровно 3 решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: возведём уравнение в квадрат, получим кубическое уравнение с тремя корнями, затем проверим условие неотрицательности подкоренного выражения и найдём значения параметра, при которых ровно три корня удовлетворяют этому условию.

Исходное уравнение равносильно системе:
$$\begin{cases}
x^4 - 16x^2 + 64a^2 = (x^2 + 4x - 8a)^2 \
x^2 + 4x - 8a \geq 0
\end{cases}$$

Раскроем скобки в первом уравнении, используя формулу $(u + v + w)^2 = u^2 + v^2 + w^2 + 2uv + 2uw + 2vw$:

$$(x^2 + 4x - 8a)^2 = x^4 + 16x^2 + 64a^2 + 8x^3 - 16ax^2 - 64ax$$

Приравняем к левой части:
$$x^4 - 16x^2 + 64a^2 = x^4 + 16x^2 + 64a^2 + 8x^3 - 16ax^2 - 64ax$$

Упростим:
$$-16x^2 = 16x^2 + 8x^3 - 16ax^2 - 64ax$$

$$8x^3 - 16ax^2 + 32x^2 - 64ax = 0$$

$$8x(x^2 - 2ax + 4x - 8a) = 0$$

$$8x(x^2 + (4 - 2a)x - 8a) = 0$$

Отсюда $x_1 = 0$ или $x^2 + (4 - 2a)x - 8a = 0$.

Для квадратного уравнения найдём дискриминант:
$$D = (4 - 2a)^2 + 32a = 16 - 16a + 4a^2 + 32a = 4a^2 + 16a + 16 = (2a + 4)^2$$

Корни:
$$x_2 = \frac{-(4 - 2a) - (2a + 4)}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

$$x_3 = \frac{-(4 - 2a) + (2a + 4)}{2} = \frac{4a}{2} = 2a$$

Проверим условие $x^2 + 4x - 8a \geq 0$ для каждого корня.

**Для $x_1 = 0$:**
$$0 + 0 - 8a \geq 0 \Rightarrow a \leq 0$$

**Для $x_2 = -4$:**
$$16 - 16 - 8a \geq 0 \Rightarrow a \leq 0$$

**Для $x_3 = 2a$:**
$$4a^2 + 8a - 8a \geq 0 \Rightarrow 4a^2 \geq 0$$

Это верно для всех $a \in \mathbb{R}$.

Проверим совпадение корней:
- $x_1 = x_2$: $0 = -4$ — невозможно.
- $x_2 = x_3$: $-4 = 2a \Rightarrow a = -2$.
- $x_1 = x_3$: $0 = 2a \Rightarrow a = 0$.

Анализируя диаграмму:
- При $a < -2$: все три корня удовлетворяют условию (3 решения).
- При $a = -2$: корни $x_2$ и $x_3$ совпадают, остаются два различных корня (2 решения).
- При $-2 < a < 0$: все три корня удовлетворяют условию (3 решения).
- При $a = 0$: корни $x_1$ и $x_3$ совпадают, остаются два различных корня (2 решения).
- При $a > 0$: только $x_3$ удовлетворяет условию (1 решение).

Уравнение имеет ровно 3 решения при $a \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0)$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике