Question

а) Решите уравнение $\cos 2x = 1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right)$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить формулы двойного угла и дополнительного аргумента, свести уравнение к произведению, затем отобрать корни на заданном промежутке.

**а) Решение уравнения**

Упростим левую часть, используя формулу двойного угла:

$$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$$

Упростим правую часть, применив формулу приведения $\cos\left(\frac{\pi}{2} - xight) = \sin x$:

$$1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - xight) = 1 - \sin x$$

Уравнение принимает вид:

$$1 - 2\sin^2 x = 1 - \sin x$$

Перенесём все в левую часть:

$$2\sin^2 x - \sin x = 0$$

Разложим на множители:

$$\sin x(2\sin x - 1) = 0$$

Отсюда получаем два случая:

$$\sin x = 0 \quad 	ext{или} \quad \sin x = \frac{1}{2}$$

Из первого уравнения:

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Из второго уравнения:

$$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на промежутке**

Используя числовую окружность, определим, какие корни попадают в интервал $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\piight)$.

Для семейства $x = \pi n$:
- При $n = -2$: $x = -2\pi$ — принадлежит промежутку.
- При $n = -1$: $x = -\pi$ — не принадлежит (граница исключена).

Для семейства $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$:
- При $k = -2$ (чётное): $x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$ — принадлежит промежутку.
- При $k = -1$ (нечётное): $x = -\frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{7\pi}{6}$ — не принадлежит (выше границы $-\pi$).

Задание №13УравненияЕГЭ по математике