Question

Вычислите значение выражения $5\sqrt{2}\cos^{2}\frac{7\pi}{8}-5\sqrt{2}\sin^{2}\frac{7\pi}{8}$.

Accepted Answer

5

Answer

Идея решения: вынести общий множитель и применить формулу двойного угла для косинуса.

Вынесем $5\sqrt{2}$ за скобки:

$$5\sqrt{2}\cos^{2}\frac{7\pi}{8}-5\sqrt{2}\sin^{2}\frac{7\pi}{8} = 5\sqrt{2}\left(\cos^{2}\frac{7\pi}{8}-\sin^{2}\frac{7\pi}{8}\right)$$

Применим формулу $\cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha = \cos 2\alpha$:

$$5\sqrt{2}\cos\frac{7\pi}{4}$$

Найдём значение $\cos\frac{7\pi}{4}$. Угол $\frac{7\pi}{4}$ находится в четвёртой четверти и равен $2\pi - \frac{\pi}{4}$, поэтому:

$$\cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Подставим:

$$5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \cdot \frac{2}{2} = 5$$

Задание №7Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике