Question

а) Решите уравнение $\cos 2x - \sqrt{2}\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) - 1 = 0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить формулу приведения, выразить косинус двойного угла через синус, затем решить квадратное уравнение относительно синуса.

**а) Решение уравнения**

Используем формулу приведения: $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + xight) = \sin x$.

Уравнение принимает вид:

$$\cos 2x - \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$$

Подставим $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:

$$1 - 2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$$

$$-2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x = 0$$

$$2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$\sin x(2\sin x + \sqrt{2}) = 0$$

Отсюда получаем два случая:

**Случай 1:** $\sin x = 0$

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**Случай 2:** $2\sin x + \sqrt{2} = 0$

$$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\left[\begin{array}{l} x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \ x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \end{array}ight.$$

**б) Отбор корней на отрезке $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\piight]$**

Из семейства $x = \pi n$: при $n = 2$ получаем $x = 2\pi$; при $n = 3$ получаем $x = 3\pi$. Оба значения принадлежат отрезку.

Из семейства $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$: при $n = 1$ получаем $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$, что принадлежит отрезку.

Из семейства $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$: при $n = 1$ получаем $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4} < \frac{3\pi}{2}$, не подходит; при $n = 2$ получаем $x = -\frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{13\pi}{4} > 3\pi$, не подходит.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике